Derivada de x | x | en 0

Question

Estoy tratando de demostrar que$f(x) = x|x|$ es diferenciable para todos$x \in \mathbb{R}$.

Al calcular el derivado primario, obtengo:$$f'(x) = |x|+x(|x|)'$ $ Sé que $ (| x |) '= \begin{cases} 1 \ \text{for } x > 0 \\ -1 \ \text{for } x < 0 \end {casos}$ and it's undefined for $ x = 0 $

Así, $ f '(x) = \begin{cases} 2x \ \text{for } x > 0 \\ -2x \ \text{for } x < 0 \end {casos} $

Pero que pasa $x = 0$? Mirando el gráfico puedo ver$f'(0) = 0$ pero ¿cómo puedo llegar allí?

Gracias

Answer 1

Si intenta diferenciar explícitamente$|x|$ en$x=0$, se encontrará con problemas. ¿Por qué no volver a la definición del derivado:$$\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$ $

Presumiblemente, el único caso interesante es$x=0$:$$\lim_{h\to 0} \frac{f(h)-f(0)}{h}.$ $

¿Qué obtienes cuando$h$ se acerca a$0$ desde la izquierda? De la derecha? ¿Son estos iguales?