Encuentra valores absolutos máximos y mínimos parametrizando los límites

Question

$f(x,y) = 2\cos x + 3\sin y$$; R= {(x , y): 0 \leq x \leq 2\pi \\\mbox{and}\\ 0 \leq y \leq \pi}$

Necesito encontrar el valor máximo absoluto y el valor mínimo absoluto en la región$R$, y tengo que parametrizar los elementos de límite de$R$ para encontrar los puntos críticos allí.

Intenté tomar$(x,y) = (r\cos(\theta),r\sin(\theta))$ para$\theta \in [0,2\pi]$ y luego obtuve$h(\theta) = 2\cos(r\cos(\theta))+3\sin(r\sin(\theta))$

Después de esto $h'(\theta)=2r\sin(\theta)\cdot\sin(r\cos(\theta))+3r\cos(\theta)\cdot(\cos(r\sin(\theta))$.

No puedo encontrar valores de$\theta$ para los cuales$h'(\theta)=0$.

¿Cómo debo proceder desde aquí?

Answer 1

Realizar las parametrizaciones

$$x = \pi(1+\sin (u))\\ y = \frac{\pi}{2}(1+\sin (v))$$

tenemos

$$f(u,v) = 3 \cos \left(\frac{1}{2} \pi \pecado (v)\right)-2 \cos (\pi \sin (u))$$

así que los puntos estacionarios son las soluciones

$$\left\{ \begin{array}{rcl} 2 \pi \cos (u) \sin (\pi \sin (u))=0 \\ -\frac{3}{2} \pi \cos (v) \sin \left(\frac{1}{2} \pi \sin (v)\right)=0 \\ \end{array} \right.$$

dar las soluciones

$$\left[ \begin{array}{ccc} x & y & f \\ \pi & -\frac{\pi }{2} & -2 \\ \pi & \frac{\pi }{2} & -2 \\ \pi & 0 & 1 \\ 0 & -\frac{\pi }{2} & 2 \\ 0 & \frac{\pi }{2} & 2 \\ 2 \pi & -\frac{\pi }{2} & 2 \\ 2 \pi & \frac{\pi }{2} & 2 \\ 0 & 0 & 5 \\ 2 \pi & 0 & 5 \\ \end{array} \right]$$