Distribuyendo objetos idénticos a cajas idénticas.

Question

¿Tenemos 6 cosas idénticas para distribuir en 4 cajas idénticas, de modo que las cajas vacías están permitidas para encontrar el número de maneras de distribuir las cosas?

Answer 1

La distribución de objetos idénticos a cajas idénticas es el mismo que los problemas de particiones de enteros.

Así que si los objetos y las cajas son idénticas, entonces queremos saber el número de formas de escribir el entero positivo $n$ como suma de enteros positivos. Es decir, si consideramos los números enteros de una secuencia de enteros positivos $(a_1,a_2,\dots,a_k)$ tal que la suma de los $a_i$ (para todos los $i$) suma de a $n$, entonces la secuencia de $(a_1,a_2,\dots,a_k)$ forma una partición en $n$. Nota: $(1,3)$ es lo mismo que $(3,1)$

Usted podría:

1. Contar con la mano si el entero es muy pequeño (como en este caso). (Ver Aziumut la solución)
2. El uso de un Ferrer del diagrama. Como una sugerencia de que hay un "más rápido" la manera de contar las particiones si usted hace uso de algunos de los teoremas pertinentes.

Answer 2

El resultado es el número de particiones de 6 en una suma de 4 sumas integrales$\geq 0$.

Las posibilidades son $$ 6 = 6 + 0 + 0 + 0 \\ = 5 + 1 + 0 + 0 \\ = 4 + 2 + 0 + 0 \\ = 4 + 1 + 1 + 0 \\ = 3 + 3 + 0 + 0 \\ = 3 + 2 + 1 + 0 \\ = 3 + 1 + 1 + 1 \\ = 2 + 2 + 2 + 0 \\ = 2 + 2 + 1 + 1 $$

entonces la respuesta es$9$.

Answer 3

Dado que todos los objetos y las cajas son idénticas, esto significa que no importa qué objeto va a la cual cuadro, lo único que nos importa es el número de objetos en cada una de las cajas, y esto es equivalente a decir cuántas maneras se puede crear una partición de un número $r$ a $k$ partes?

si dejamos $P_k(r)$ ser el número de la partición del número de $r$ a $k$ partes, en su caso $k=4$$r=6$, entonces tenemos que encontrar cómo muchas maneras en que podemos partición 6 en 4 partes. Pero también hay que tener en cuenta que no está permitiendo que las cajas vacías, esto significa que también podemos tener en cuenta la partición de 6 en 3 partes, 2 partes o 1 parte, se suman todos los casos que se le da a $$\sum_{k=1}^4P_k(6)$$ Y, sin embargo, no es "real" la fórmula para calcular el $P_k(r)$, pero para los pequeños números a los que usted puede contar con la mano.