Es allí cualquier escaleno no en ángulo recto triángulo que tiene sus lados como simples números racionales y cuyos ángulos muy simples razones trigonométricas?

Question

Actualmente estoy aprendiendo condicional identidades trigonométricas tales como $ \sin{2A} + \sin{2B} +\sin{2C} = 4\sin{A}\sin{B}\sin{C}$$A + B+C = \pi$, es decir, son de los ángulos en un triángulo.

Me estoy preparando para un examen de opción múltiple donde el tiempo por pregunta es sólo acerca de la $2$ minutos. Estas identidades son frecuentes en la forma en la PREPA , se da como el dado y se les pide que eligieron la opción correcta para el lado derecho de la expresión. Es mucho tiempo para probar realmente la identidad y luego elegir la opción correcta.

Por lo tanto, hay a menudo un atajo de dichos problemas, en la cual se pueden controlar todas las cuatro opciones mediante la sustitución de las proporciones de algunos comunes simple triángulo, como la $30-60-90$ triángulo. Esto funciona en la mayoría de las veces.

Sin embargo, a veces sucede que las dos opciones parecen ser correctos cuando comprobamos el uso de la $30-60-90$ triángulo, pero en realidad sólo una respuesta es correcta. Esto sucede porque estoy usando un tipo especial de triángulo (triángulo rectángulo).

Para evitar esto estoy buscando un general triángulo escaleno y no en ángulo recto) con el simple racional de los lados (como $2$ o $\frac{3}{4}$) así como los ángulos cuyas razones trigonométricas son simples suficiente para que mi método es viable.

Answer 1

Por la Ley de los Cosenos, cualquier entero lados del triángulo tiene ángulos cuyos cosenos son racionales. Para obtener racional de los senos, usted sólo tiene que asegurarse racional de la zona (por la fórmula del área $\frac12 a b \sin C$).

Una manera de hacer esto es tomar dos enteros caras triángulos rectángulos con una pierna, y la cola a lo largo de la pierna. Por ejemplo, un $9$-$12$-$15$ y un $5$-$12$-$13$ hacer un $13$-$14$-$15$ triángulo.

El trig proporciones para dos de los ángulos se pueden leer de inmediato de la derecha-piezas triangulares; el área es muy sencillo. Encontrar el trigs del tercer ángulo sólo toma un poco de esfuerzo. Para el $13$-$14$-$15$ triángulo de arriba, tenemos $$\sin A = \frac{4}{5} \qquad \cos A = \frac{3}{5} \qquad \sin B = \frac{12}{13} \qquad \cos B = \frac{5}{13} \qquad \text{area} = 84$$ $$\sin C = \frac{2\cdot 84}{15\cdot 13} = \frac{56}{65} \qquad \cos C = \frac{-14^2+15^2+13^2}{2\cdot 15\cdot 13} = \frac{33}{65}$$

Estos no son necesariamente las "más simples" ratios, supongo, pero son un buen lugar para comenzar.

Si, de forma más general, se puede adjuntar una $p$-$q$-$r$ derecho a un triángulo $s$-$q$-$t$ a la derecha del triángulo ...

... luego de llegar ...

$$\sin A = \frac{q}{r} \qquad \cos A = \frac{p}{r} \qquad \sin B = \frac{q}{t} \qquad \cos B = \frac{s}{t} \qquad \text{area} = \frac12(p+s)q$$ $$\sin C = \frac{(p+s)q}{rt} \qquad \cos C = \frac{q^2-ps}{rt}$$

Experimentando con los valores aquí podría generar algunos más simple de los coeficientes.

Usted menciona haber utilizado $30^\circ$-$60^\circ$-$90^\circ$ triángulos, lo que sugiere una cierta tolerancia para irrationals y, por lo tanto, una cierta flexibilidad con los de arriba. Por ejemplo, usted podría tomar $q := \sqrt{n}$ (y todos los otros lados entero); concede, todos los senos se vuelven irracionales, pero al menos ellos coinciden, en que todos ellos son racionales múltiplos de $\sqrt{n}$. Los cosenos siendo racional. Algo a tener en cuenta.