¿En qué sentido es lógica proposicional "cero-el fin de la lógica?"

Question

La página de la Wikipedia sobre el cálculo proposicional dice que otro nombre es "cero-el fin de la lógica." Este tipo de sentido para mí, pero parece romper en algunos bastante crucial maneras con conectivos lógicos.

La idea es que las proposiciones de la lógica proposicional puede ser pensado como predicados de "orden cero." Ellos toman en ninguna de entrada y puede ser considerado básicamente como una "constante $\{0,1\}$valores de las funciones." De primer orden de los predicados de tomar estos como entrada. De segundo orden de los predicados tomar en cualquiera de primer orden de los predicados o de orden cero predicados como entrada. Y así sucesivamente.

Esto se pone raro en lo que se refiere a los conectivos lógicos, aunque. En lógica proposicional, los objetos son realmente cree que es "constante", las funciones en que se considera que tienen un valor true o false, y podemos aplicar conectivos lógicos. Pero si estamos considerando que estos son las cosas que de primer orden de los predicados tomar como argumentos, ¿cómo funciona este sentido? En primer orden PA, por ejemplo, los objetos son, básicamente, sólo números. Pero si estos se supone que son "cero-el fin de los predicados," ¿qué sentido $(12 \lor 13) \land (14 \lor \lnot 15)$?

Es un poco extraño pensar en conectivos lógicos como la aplicación de todos los predicados de orden > 0, a menos que estés trabajando en "cero-el fin de la lógica, el" punto en el cual se aplican. ¿Hay alguna manera impecable sentido, precisamente, de cómo son las cosas relacionadas con aquí?

Answer 1

Esto se pone raro en lo que se refiere a los conectivos lógicos, aunque. En lógica proposicional, los objetos son realmente cree que es "constante", las funciones en que se considera que tienen un valor true o false, y podemos aplicar conectivos lógicos. Pero si estamos considerando que estos son las cosas que de primer orden de los predicados tomar como argumentos, ¿cómo funciona este sentido? En primer orden $PA$, por ejemplo, el cero de orden de los predicados son, básicamente, sólo números. ¿Qué sentido $(12 \vee 13)\wedge(14\vee \neg 15)$?

El hincapié en parte es muy engañoso. Nosotros generalmente no tome nuestra constantes a ser "cero" de los predicados, sino $0$-ary funciones (y hasta que no forzada). Una $n$-ary predicado toma un $n$-tupla y devuelve un valor de verdad, mientras que un $n$-ary función toma $n$-tuplas y devuelve un objeto del dominio, por lo que es natural para identificar a $0$-ary funciones constantes. Pero, a continuación, las constantes no será "cero" de los predicados!

EDIT: también parecen confundidos por la definición de "cero" de la lógica, la lógica de primer orden, etc. Básicamente, una lógica que es de la $n$th-orden si no hay ninguna variable de orden $n+1$ se cuantifica, donde el orden de las variables se pueden definir de forma recursiva mediante el establecimiento de un (relacional) tipo de jerarquía de la siguiente manera:

• $o, i$ son los tipos de orden de $0$$1$, respectivamente (son, respectivamente, los tipos de la verdad-de los valores y de los individuos);
• si $\tau_1, \dots, \tau_n (n \geq 1)$ son de cualquier tipo, excepto $o$, $\langle \tau_1, \dots, \tau_n\rangle$ es un tipo de orden $1 + max\{ord(\tau_1), \dots, ord(\tau_n)\}$. Intuitivamente, $\langle \tau_1, \dots, \tau_n\rangle$ es el tipo de $n$-ary relaciones con los argumentos de $\tau_1, \dots, \tau_n$. Así, por ejemplo, de primer orden $n$-ary relaciones son variables de tipo $\langle i, \dots, i\rangle$ (que $n$ $i$'s) y el fin de $2$.

Así que la lógica de primer orden es llamado así porque no hay ninguna variable de segundo orden está cuantificado. Del mismo modo, un cero de orden lógica es llamado así porque no hay ninguna variable de orden $1$ es cuantificado (es decir, no podemos cuantificar sobre indviduals). Observe además que la relación de las variables toman los individuos, no la verdad-valores, como entradas.

Answer 2

La idea es que las proposiciones de la lógica proposicional puede ser pensado como predicados de "orden cero." Ellos toman en ninguna de entrada y puede ser considerado básicamente como una "constante $\{0,1\}$valores de las funciones." De primer orden de los predicados de tomar estos como entrada. De segundo orden de los predicados tomar en cualquiera de primer orden de los predicados o de orden cero predicados como entrada. Y así sucesivamente.

No.

Una "constante $\{0,1\}$valores de la función" (equivalente a) uno de los números de $\{0, 1\}$. Así que si esto fuera cierto, los de primer orden de la lógica sería la cuantificación del conjunto $\{0, 1\}$. Es decir, una declaración como $\forall x P(x)$ reduciría inmediatamente a $P(0)\wedge P(1)$, lo que generalmente no es válido (aunque sería válido si el dominio de discurso pasa a ser $\{0, 1\}$, por ejemplo, en álgebra de boole).

Las proposiciones de la lógica proposicional cuantificar sobre nada en absoluto; son nullary variables booleanas, como la ha descrito. De primer orden de los predicados de cuantificar sobre algunos objetos, pero no necesariamente booleanos. Por ejemplo, en virtud de la PA, se cuantifique en números naturales, mientras que en ZFC que cuantificar sobre los conjuntos (pero esto es sólo una convención semántica; sintácticamente este dominio no se especifica). De segundo orden de los predicados de hacer cuantificar a través de estos de primer orden de los predicados, en un sentido, pero el dominio de estos predicados es de nuevo específica para el problema de espacio. Por ejemplo, una de segundo orden de la repetición del axioma esquema de separación permitiría la sustitución de la envolvente del predicado $\phi(x)$ con algo como $x \in S$, para algunos se ha descrito anteriormente libre de la variable $S$. El símbolo $\in$ no pertenece a la lógica de primer orden, sino a la teoría de conjuntos. Sintácticamente esto es válido, porque el símbolo actúa como un "gracioso" de primer orden predicado. En otras palabras, se podría fácilmente escribir $\mathrm{In}(x, S)$, pero eso sería poco convencional. Sin embargo, $\in$ o $\mathrm{In}$ tiene una semántica, conjunto teórico que significa que es específico de ZFC; esto no es sólo un símbolo arbitrario que nos arrancó de la nada (de la misma manera como el 2 no es un sin sentido, símbolo de la virtud de la PA).

Así que para mantenerlo todo junto:

• Las proposiciones son sintácticamente las variables booleanas y semánticamente representantes de afirmaciones verdaderas o falsas acerca de nuestro dominio semántico
• De primer orden de los predicados son sintácticamente las funciones de las no especificadas de dominio y un booleano codominio (es decir, producir en lugar de consumir booleanos), y semánticamente son declaraciones con "un poco desaparecidos," específicamente algunos obligado variable que puede ser rellenado de nuestro dominio.
• De segundo orden de los predicados son sintácticamente funciones de orden superior de no especificado de dominio con un "de primer orden de los predicados" codominio, y semánticamente son declaraciones con "una fórmula completa que faltan", que de nuevo puede ser rellenado de nuestro dominio.
• Este proceso se puede llevar tantas capas como quieras. Cada capa permite la cuantificación sobre la capa anterior, que es sintácticamente como una función que produce la capa anterior del predicados, y semánticamente como de la introducción de una capa de indirección.