¿Existe una función no lineal $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, diferenciable en $\mathbb{R}$, tal que cualquier recta tangente sea tangente a la gráfica de $f$ en dos puntos distintos (al menos)?
Respuesta
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alphanzo
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Voy a demostrar que no hay ningún $y=y(x)$ que resuelva $f'(x)=f'(y)$ y al mismo tiempo resuelva $f(y)-f(x)=(y-x)f'(x)$ para todo $x$, a menos que $y=x$ o $f$ sea lineal, con la suposición de que $y\in C^1$ y $f\in C^2$. Supongamos que es verdadero y tomemos la derivada de la segunda ecuación para obtener
$y'(x)f'(y)-f'(x)=y'(x)f'(x)-f'(x)+(y-x)f''(x)$.
Si dejamos que $f'(x)=f'(y)$ sea verdad, esta expresión se simplifica a
$0=(y-x)f''(x)$.
Por lo tanto, o bien $y=x$, o $f''(x)=0$, y $f$ es una función lineal.
