Super duro Geometría Euclidiana

Question

El triángulo $ABC$ es derecho angld en $A$. Una línea a través del punto medio de la $D$ $BC$ cumple con $AB$$X$$AC$$Y$. El punto de $P$ es tomado en esta línea, de modo que $PD$ $XY$ tienen el mismo punto medio $M$. La perpendicular de $P$ $BC$cumple con $BC$ en T.

Demostrar que $AM$ biseca $\angle TAD$.

Me tiene intrigado sobre este problema de mi libro en la innovadora Geometría Euclidiana durante meses.

El libro no tiene soluciones, sólo sugerencias así que usted puede imaginar lo frustrante que puede ser esto.

Aprecio mucho este si alguien podría solucionarlo o al menos avanzar en él.

Si a usted le gusta la sugerencia de mi libro sólo tiene que preguntar. Gracias.

Answer 1

\begin{align*} \angle TDM &= \angle YDC \\ &= \angle DYA - \angle DCY \text{ (exterior angle = sum of opposite interior angles in triangle }DCY) \\ &= \angle MAY - \angle DCY \text{ (%#%#% is centre of circle through %#%#%, so %#%#%)} \\ &= \angle MAY - \angle DAY \text{ (%#%#% is centre of circle through %#%#%, so %#%#%)} \\ &= \angle MAD \end{align*}

Pero $M$ (debido a $XAY$ es el centro de un círculo a través de $\angle MYA = \angle MAY$, lo $D$). Por lo tanto $BAC$, y por lo $\angle DCY = \angle DAY$ es un cuadrilátero cíclico. Y $\angle TDM = \angle MTD$. Por lo tanto $M$.

QED