Podemos probar a $\displaystyle \limsup_{n \to \infty} \sin(n) = 1$?

Question

Podemos demostrar que $\displaystyle \limsup_{n\to \infty} \sin(n) = 1$?

Puedo demostrar que la afirmación anterior tiene suponiendo que $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ es normal (este hecho es utilizado tanto de forma tangencial en la prueba, lo que me pregunto si se puede probar sin ella): Fix $\epsilon > 0$ y encontrar $5^n > \frac{1}{\epsilon}$. Podemos encontrar una cadena de $00\dots 01$ (en base $5$) $n$ ceros que se produzcan en el $m^{th}$ dígitos y se sigue que:

$$\frac{\lfloor \frac{\pi}{2} \cdot 5^m \rfloor}{5^m} < \frac{\pi}{2} < \frac{\lfloor \frac{\pi}{2} \cdot 5^m \rfloor + \epsilon}{5^m}$$

Por lo $d(\frac{\pi}{2} \cdot 5^m , \lfloor \frac{\pi}{2} \cdot 5^m \rfloor ) < \epsilon$. Desde $5^m \equiv 1 \mod 4$,$\sin(\frac{\pi}{2} \cdot 5^m) = 1$, y desde $|\sin|$ domina la onda triangular, $d(1,\sin(\lfloor \frac{\pi}{2} \cdot 5^m \rfloor ) ) < \displaystyle \frac{\epsilon}{\pi}$, a partir de la cual el resultado de la siguiente manera.

Pero $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ no está demostrado ser normal. Podemos probar este hecho sin el uso de la normalidad?

Answer 1

La normalidad es una exageración de hecho ; la irracionalidad es suficiente.

Desde $2\pi$ es irracional, el subgrupo aditivo ${\mathbb Z}-{2\pi}{\mathbb Z}$ es densa en $\mathbb R$. De hecho, ${\mathbb N}-{2\pi}{\mathbb N}$ también es denso en $\mathbb R$ (esto es bien conocido y no es difícil de mostrar, utilizar el pigeon-hole principio).

Así que para cualquier $\varepsilon \gt 0$, existen enteros positivos $n,k$$\big|n-(2\pi)k-\frac{\pi}{2}\big| \lt \varepsilon$, y, por tanto,$|\sin(n)-1| \lt \varepsilon$.