¿Es el teorema de Hilbert generalizable a $H^3$ inmersión en $\mathbb{R}^4$ ?

Question

El teorema de Hilbert en geometría diferencial se refiere a la inmersión del plano hiperbólico en $\mathbb{R}^3$ . ¿Es válido para $H^3$ en $\mathbb{R}^4$ ?, y para todos $H^n$ en $\mathbb{R}^{n+1}$ ?

Answer 1

Se sabe que

• No hay inmersión isométrica de $\mathbb{H}^n$ en $\mathbb{R}^{2n-2}$ Incluso uno local. Hay una inmersión local en $\mathbb{R}^{2n-1}$ . Esto se debe a E. Cartan (1919-20) y T. Otsuki (1955).

• Hay una completa inmersión isométrica de $\mathbb{H}^n$ en $\mathbb{R}^{4n-3}$ . Esto fue demostrado recientemente (años 80) por W. Henke.

• Existe una incrustación isométrica de $\mathbb{H}^n$ en $\mathbb{R}^{6n-6}$ . Para $n=2$ fue encontrado por D. Blanusa en 1955.

Todo esto, con referencias y pruebas, se puede encontrar en la tesis de maestría Incrustaciones isométricas entre formas espaciales por David Brander.

En concreto, para el espacio hiperbólico tridimensional $\mathbb{H}^3$ :

• no hay inmersión local en $\mathbb{R}^4$
• hay una inmersión local en $\mathbb{R}^5$
• hay una inmersión completa en $\mathbb{R}^9$
• hay una incrustación en $\mathbb{R}^{12}$

Por lo que sabemos, $\mathbb{H}^3$ podría tener una incrustación isométrica en $\mathbb{R}^5$ en lugar de $\mathbb{R}^{12}$ ...