Me pregunto si mi acercamiento a la solución de este problema es la correcta y de no violar alguna de las reglas.
Así, en un ejercicio que me pidieron para comprobar si el límite:
$$\lim_{\bar x\to \bar 0} \frac{\ln(1+\vert \bar x \vert^2)}{\vert \bar x \vert^2 + \sin(x_1x_2x_3)}$$ exists and if so what it is, where $\bar x = (x_1,x_2,x_3)$ and $\vert \bar x \vert = \sqrt {x_1^2 + x_2^2 + x_3^2} $
En lugar de comprobar los diferentes curvas traté de hacerlo cambiando a coordenadas polares:
$x_1=r \cdot \sin \theta \cdot \cos \varphi $
$x_2=r \cdot \sin \theta \cdot \sin \varphi $
$x_3=r \cdot \cos \theta$
Así que en lugar de obtener el límite:
$$\lim_{r\to 0^+}\frac {\ln(1+r^2)}{r^2+\sin (r^3\cdot \lambda)}$$ where $\lambda=\sin (\theta)^2\cos\theta\cos\varphi\sin\varphi$
Por entonces, el uso de l'Hopitals regla tengo:\begin{align}\lim_{r\to 0^+}\frac {\frac {2r}{1+r^2}}{2r + \lambda 3r^2\cos (r^3\cdot\lambda)}&=\lim_{r\to 0^+}\frac {1}{(1+r^2)\cdot (1 + 3\lambda r \cdot \cos(r^3\lambda))}\\&=\lim_{r\to 0^+}\frac {1}{1+r^2 + 3\lambda r \cdot \cos(r^3\lambda))+3\lambda r^3 \cdot \cos(r^3\lambda))}\\&=1\end{align}
Si mi planteamiento es correcto, me pregunto si puedo resolver esto sin l'Hôpital tal vez con igualdades? .
