cada isometría es un homeomorfismo

Question

Definimos una isometría como una bijección $f:X \rightarrow X'$ de tal manera que $d'(f(x_1),f(x_2))=d(x_1,x_2)$ $ \forall x_1,x_2 \in X$ . Demuestra que cualquier isometría es un homeomorfismo.

Así que mi definición de homeomorfismo es que una función $f:X \rightarrow X'$ es un homeomorfismo si $f$ es una bendición y $f^{-1}$ es continua. Así que tengo que mostrar que

(a) $f$ es continua.

$ \forall\epsilon >0$ elige $ \delta =f^{-1}( \epsilon )$ . Entonces se deduce que $d(x_1,x_2)< \delta\implies d'(f(x_1),f(x_2))< \epsilon. $

(b) $f^{-1}$ es continua. ¿Esto es sólo el reverso de la letra (a)?

Answer 1

$f^{-1}(\epsilon)$ no tiene sentido: $f^{-1}$ es una función que mapea desde $X$ a $X$ , no de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ . Así que ciertamente no se puede elegir $\delta=f^{-1}(\epsilon)$ .

Para demostrar que $f$ es continua, nótese que dado $\epsilon\gt 0$ si $d(x_1,x_2)\lt\epsilon$ entonces $d'(f(x_1),f(x_2))=d(x_1,x_2) \lt \epsilon$ Esto demuestra que $f$ es (uniformemente) continua (con $\delta=\epsilon$ ).

Para demostrar que $f^{-1}$ es continua, basta con observar que es una isometría, así que por la primera parte, también es continua.