Calcular $\int_0^2\frac {\arctan{x}}{x^2+2x+2}dx$

Question

Calcular $I=\int_0^2\frac {\arctan{x}}{x^2+2x+2}dx$

Mis 2 intentos:

Primero:

Se observa que el$\frac {1}{x^2+2x+2}=\frac {1}{(x+1)^2+1}$$\frac 1{(x+1)^2+1}=(\arctan{(x+1)})^{'}.$, Entonces:

$$\int_0^2\frac{\arctan{x}}{x^2+2x+2}dx=\int_0^2\arctan{x}(\arctan{(x+1)})^{'}dx=\left.\arctan{x}\arctan{(x+1)}\right|_0^2-\int_0^2\frac{1\times\arctan{(x+1)}}{1+x^2}dx=\left.\arctan{x}\arctan{(x+1)}\right|_0^2-\int_0^2\frac{(1+x^2-x^2)\times\arctan{(x+1)}}{1+x^2}dx=\left.\arctan{x}\arctan{(x+1)}\right|_0^2-\int_0^2\arctan{(x+1)}dx-\int_0^2\frac{x^2\arctan{(x+1)}}{1+x^2}dx$$

Donde la segunda integral es bastante fácil de resolver usando integración por partes pero el segundo no es muy agradable, así que... pensé que debía intentar algo más.

Segundo intento:

Deje $u=\arctan(x+1)$ $x=\tan u-1$ $$I=\int_{\arctan1}^{arctan3}\arctan{(\tan u -1)du}$$

entonces pude dejar $w=\tan(u)-1$ $dw=((w+1)^2+1)du$ ... pero es mucho trabajo y realmente creo que usted puede hacer esto más fácilmente...

Cualquier sugerencias?

Answer 1

Algunas ideas aquí:

\begin{align} I&=\int\frac{\arctan x dx}{(x+1)^2+1}\\ &=\int\frac{\arctan (u-1) du}{u^2+1}\\ &=\int\frac{\arctan(\tan w-1)\sec^2w dw}{\sec^2w}\\ &=\int\arctan(\tan w-1)dw \end{align}

Utilizando similares sustituciones, considere la posibilidad de $$J=\int\frac{\text{arccot} x dx}{(x+1)^2+1}=\int\text{arccot}(\tan w-1)dw$$

Aviso $$\arctan x+\text{arccot}x=\frac\pi 2$$

Así $$I+J=\frac{\pi}{2}\int^2_0\frac{dx}{(x+1)^2+1}=\frac{\pi}2(\arctan3-\frac{\pi}4)$$