Suave pregunta: ¿cómo puedo construir intuición geométrica y/o visualizar la Riemann–Stieltjes integral? Esto es muy fácil con Riemann integral, pero en el caso de Riemann-Stieltjes integral siempre tengo que confiar en la simbólica.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
La de Riemann-Stieltjes integral es, efectivamente, una integral de Riemann, excepto el integrando es "ponderado" en cada momento, de acuerdo a una función dada, el "integrador." De hecho (y puede que ya lo sabe), si el integrando es $f$ y el integrador $g$ es diferenciable, entonces la $$\int_a^b f(x)dg(x)=\int_a^b f(x)g'(x)dx.$$
Si $g$ es cada vez mayor (y cuando me enteré de la de Riemann-Stieltjes integral que se requiere para ser), entonces se puede pensar de $g$ como una especie de actuar sobre la línea real - y que también actúa en la gráfica de $f$. Por ejemplo, si $g(x)=2x$, $g$ actúa sobre la línea real por "estirar" por un factor de $2$. Si usted piensa de $f$ como graficar en una hoja de goma (correspondiente a un plano de coordenadas) que se extenderá a ti mismo por un factor de $2$, entonces el área bajo la gráfica de $f$ doble, correspondiente al hecho de que $$\int_a^b f(x)d(2x)=2\int_a^bf(x)dx.$$ If $g$ es más complicado de la función, entonces la transformación podría ser más difícil de analizar, pero esto es efectivamente lo que está sucediendo.
