¿Cómo resolver el siguiente problema?
Sea $K$ sea una extensión normal de $F$ y que $f(x)\in F[x]$ sea un polinomio irreducible sobre $F$ . Sea $g(x)$ y $p(x)$ sean factores irreducibles mónicos de $f(x)$ en $K[x]$ . Demostrar que existe un $z\in\operatorname{Gal}(K/ F)$ , con $z(g)=p$ .
Sea $N/F$ sea una extensión normal, sea $X$ sea una indeterminada, sea $f\in F[X]$ sea un polinomio irreducible, y sea $g_1,g_2\in N[X]$ sean factores mónicos irreducibles de $f$ .
Queremos encontrar un $F$ -automorfismo de $N$ que asigna $g_1$ a $g_2$ .
Sea $N^a$ sea un cierre algebraico de $N$ y $\alpha_i$ una raíz de $g_i$ en $N^a$ .
El polinomio mínimo de $\alpha_i$ en $F$ en $f$ existe un $F$ -automorfismo $\sigma$ de $N^a$ cartografía $\alpha_1$ a $\alpha_2$ .
En $N/F$ es normal, tenemos $\sigma N=N$ .
El polinomio mínimo de $\alpha_i$ en $N$ en $g_i$ nuestro automorfismo $\sigma$ mapas $g_1$ a $g_2$ .
Hace tiempo escribí una solución a este problema. Puede encontrarla en la parte inferior de esta página (3.13).
Bajo las hipótesis, $f$ se divide completamente $\bf K$ Así que $g$ et $p$ son lineales. Así pues, el problema se reduce a demostrar que si $\alpha$ et $\beta$ son raíces de $f$ en $\bf K$ entonces hay un elemento del grupo de Galois que toma $\alpha$ a $\beta$ . La prueba de este resultado se encuentra en todas las exposiciones de la Teoría de Galois.
EDIT: como indica awllower, leí mal el problema, y pensé que se suponía que $f$ tiene una raíz en $\bf K$ .
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