OK, así que la pregunta dice: evaluar la integral $$\int_{0}^{\pi}\frac{x}{(a^2\cos^2x+b^2\sin^2x)^2}dx$$ Yo lo que hago es usar la propiedad que $\int_a^bf(x)dx=\int_a^bf(b+a-x)dx$ y esto me da ($I$ es el valor de la integral) $$\frac{2I}{\pi}=\int_{0}^{\pi}\frac{1}{(a^2\cos^2x+b^2\sin^2x)^2}dx$$ ¿Qué debo hacer para obtener el valor que necesito? Algún consejo? (Gracias de antemano)
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Yo prefiero el método siguiente:
\begin{align*} I := \int_{0}^{\pi} \frac{x}{(a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x )^2} \, dx &= \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} \frac{dx}{(a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x )^2} \\ &= \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{(a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x )^2} \\ &= \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \tan^2 x}{(a^2 + b^2 \tan^2 x )^2} \, \sec^2 x \, dx. \end{align*}
Ahora hacemos la sustitución de $b \tan x \mapsto a \tan x$. Entonces
\begin{align*} I &= \frac{\pi}{(ab)^3} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{b^2 + a^2\tan^2 x}{(1 + \tan^2 x )^2} \, \sec^2 x \, dx \\ &= \frac{\pi}{(ab)^3} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} ( b^2 \cos^2 x + a^2\sin^2 x ) \, dx \\ &= \frac{\pi}{(ab)^3} \cdot \frac{\pi}{4} \left( a^2 + b^2 \right) = \frac{\pi^2(a^2 + b^2)}{4(ab)^3}. \end{align*}
