Me he encontrado con el siguiente ejercicio: Vamos a $G$ ser un grupo de orden de 2016, en la que cada elemento de orden 7 es conjugado. Demostrar que $G$ tiene un subgrupo de índice 2. ¿Alguien tiene alguna idea de cómo un enfoque mucho haciendo esto el uso de Sylow de la teoría?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Onorio Catenacci
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Aquí es un esquema de una prueba. No puede ser más fácil de las pruebas. Voy a dejar de relleno en los detalles.
Deje $P \in {\rm Syl}_7(G)$, lo $|P|=7$. Cualquier elemento de $G$ que conjuga un nontriival elemento de $P$ a otro, se encuentra en $N_G(P)$, por Lo que, dado que todos los elementos de orden conjugado, tenemos $|N_G(P)|$ es divisible por $6$.
La teoría de Sylow ahora le da ese $|{\rm Syl}_p(G)| = 1$ o $8$, y tenemos que lidiar con estos casos por separado.
Si $|{\rm Syl}_p(G)| = 1$,$P \lhd G$, y así hay un homorphism $\tau:G \to {\rm Aut}(P)$ inducida por la conjugación, con ${\rm Im}(\tau) = {\rm Aut}(P) \cong C_6$. La inversa de la imagen del subgrupo $C_3$ ${\rm Aut}(P)$ es un subgrupo de $G$ de índice de $2$.
Si $|{\rm Syl}_p(G)| = 8$, entonces se debe considerar la conjugación de la acción $\tau:G \to S_8$$G$${\rm Syl}_p(G)$. La imagen de un elemento de $N_G(P)$ orden $2$ es un producto de $3$ transposiciones, y por lo tanto es una permutación impar. Por lo $\tau^{-1}(A_7)$ es un subgrupo de índice$2$$G$.
