Calcular la longitud del arco de una espiral logarítmica entre dos puntos.

Question

Es difícil para mí expresarlo con palabras, así que por favor ten paciencia.

Dada una línea de cierta longitud, ¿cómo podría calcular la longitud del arco de una espiral logarítmica dado que intersecta la línea a dos ángulos diferentes?

Espero no haber confundido a nadie. Por favor, consulte el diagrama adjunto para mayor clarificación.

ACTUALIZACIÓN:

Curva como parte de la espiral:

[Editado para especificar espiral logarítmica (@MartinG)]

Answer 1

Si conoces el número de vueltas que ha dado antes de abarcar $n\pi+\frac{18\pi}{180}$ a $(n+1)\pi -\frac{12*\pi}{180}$, entonces puedes usar la forma paramétrica de una espiral para obtener la longitud de la curva. La forma paramétrica de una espiral es la siguiente:

$$ x = tcost$$ y $$ y = tsint$$

Pon el punto 1 como (x, y) y el otro punto (x+200, y)

$$x = (n\pi+18\pi/180)cos(n\pi+18\pi/180)$$

el otro punto es $$x+200 = ((n+1)\pi - 12\pi/180)cos(((n+1)\pi - 12\pi/180)$$

Puedes encontrar n y luego resolver la siguiente integral para obtener la longitud de la curva

La longitud de la curva está dada por la ecuación $$L = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2}dt$$

Espero que te haya ayudado.

Answer 2

Solución esquemática:

Suponga una espiral logarítmica. En coordenadas polares: $$ r = Re^{\theta\tan{\phi}} $$ donde $R$ es el radio en el primer punto y $\phi$ es el ángulo de inclinación de la espiral.

Considere el triángulo formado por el origen $O$ y los dos puntos $A, B$ en los extremos del arco. El ángulo en $O$ es $\theta$. Llame a los otros dos ángulos $A$ y $B$.

Relacione los dos ángulos especificados en el problema ($\alpha$ y $\beta$) con $A$, $B$ y $\phi$.

Aplicar la regla del seno al triángulo, y note que $\theta = \alpha + \beta$.

Deduzca una ecuación en $\tan{\phi}$ y cantidades conocidas.

Resuelva para $\tan{\phi}$ (usando técnicas numéricas) y luego calcule R.

Finalmente, calcule la longitud del arco $$ s = \int\frac{dr}{\sin\phi} = R \frac{(e^{\theta \tan{\phi} }-1)} {\sin{\phi}} $$