Si $x$ , $y$ y $z$ son números reales tales que $x+y+z=8$ y $x^2+y^2+z^2=32$ ¿Cuál es el mayor valor posible de $z$ ?

Question

Intenté intercambiar $z$ de la primera ecuación a la segunda, y obtuvo $$x^2 + x y - 8 x + y^2 - 8 y + 16=0$$ No estoy seguro de a dónde ir a partir de ahí, y si estoy en el camino correcto en absoluto.

Answer 1

\begin{align*} x^2+(8-x-z)^2+z^2&=32\\ x^2-(8-z)x+z^2-8z+16&=0 \end{align*}

Como $x$ es real,

\begin{align*} [-(8-z)]^2-4(1)(z^2-8z+16)&\ge0\\ 3z^2-16z&\le 0\\ 0\le z&\le\frac{16}{3} \end{align*}

El mayor valor de $z$ es $\displaystyle \frac{16}{3}$ .

Answer 2

Utilizar el método de los multiplicadores de Lagrange para encontrar los máximos locales de la función $F(x,y,z)=z$ con sujeción a las restricciones de igualdad. Tenemos $$ F(x,y,z,\lambda, \mu)=z+\lambda\, \left( x+y+z-8 \right) +\mu\, \left( {x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{ 2}-32 \right). $$ Entonces obtenemos el sistema \begin{cases} x+y+z-8=0,\\2\,\mu\,x+\lambda=0,\\2\,\mu\,y+\lambda=0,\\2\,\mu\,z+\lambda+1=0,\\{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}-32=0. \end{cases} Las soluciones son $$ \left\{ \mu=1/8,x=4,y=4,z=0,\lambda=-1 \right\} , \left\{ \mu=-1/8,x =4/3,y=4/3,z=16/3,\lambda=1/3 \right\}, $$ por lo que el valor máximo de $z$ es $\dfrac{16}{3}.$

Answer 3

Las ecuaciones son las de una esfera de radio $\sqrt{32}$ centrado en el origen y un plano con normal $(1,1,1)$ a una distancia de $8/\sqrt3$ desde el origen. Su intersección es un círculo en ese plano centrado en el punto del plano más cercano al origen. Por el teorema de Pitágoras, el punto de esta circunferencia con el mayor $z$ -(que es uno de los puntos de intersección de la circunferencia con el plano abarcado por nuestra normal del plano y el $z$ -eje) es $$\frac83(1,1,1)+\sqrt{32 - \left(\frac8{\sqrt3}\right)^2}\cdot\frac1{\sqrt{6}}(-1,-1,2) = \frac43(1,1,4),$$ por lo tanto, el máximo $z$ -coordinación es $\frac{16}3$ . El vector $(-1,-1,2)$ se calcula como $[(1,1,1)\times(0,0,1)]\times(1,1,1)$ , lo que nos da un vector que es ortogonal a $(1,1,1)$ y se encuentra en el plano abarcado por $(1,1,1)$ y el $z$ -eje.

Answer 4

Escribir el desigualdad de la raíz cuadrada en la forma $\;\displaystyle\frac{a^2+b^2}{2} \ge \left(\frac{a+b}{2}\right)^2\;$ que es válida para todos los $\,a,b \in \mathbb{R}\,$ independientemente de los signos, y utilizando que el mayor de $\,x,y,z\,$ debe ser $\,z \gt 0\,$ :

$$ \begin{alignat*}{3} \frac{x^2+y^2}{2} \ge \left(\frac{x+y}{2}\right)^2 \;\;&\iff\;\; \frac{32-z^2}{2} \ge \left(\frac{8-z}{2}\right)^2 \;\;&&\iff\;\; 2(32-z^2) \ge (8-z)^2 \\ &\iff\;\; z(16-3z) \ge 0 \;\;&&\iff\;\; z \le \frac{16}{3} \end{alignat*} $$

El caso de la igualdad $\,z = \dfrac{16}{3}\,$ se alcanza para $\,x = y\,$ .

Answer 5

Una pista:

Sustituir el valor de $x$ con $-y-z$ para formar una ecuación cuadrática en $y$

Como $y$ es real, el discriminante debe ser $\ge0$