La comparación de las pruebas de Riemann-Roch Y Serre la Dualidad en Forster y Miranda del libro

Question

Estoy aprendiendo acerca de las superficies de Riemann, a partir de los libros de Forster y Miranda. Cuando afirmando y demostrando de Riemann-Roch y de la Dualidad de Serre en ambos libros aparece un espacio que parece de alguna manera relacionados, pero esta relación no es inmediatamente claro (para mí).

Estos espacios son los siguientes:
Deje $X$ ser una compacta superficie de Riemann.

En Miranda del libro $$H^1(D)= \tau [D](X)/\operatorname {Im}(\alpha_D),$$ where $\tau[D](X)$ is the group of Laurent tail divisors on $X$ corresponding to the Divisor $D$ and $\alpha_D$ is the truncation map which removes all terms of order $-D(p)$ or higher from the Laurent series of a meromorphic function. I.e. $H^1(D)$ measures the failure of being able to solve Mittag-Leffler problems on $X$ de encontrar una función de meromorphic con un dado de la cola.

En Forsters reservar el espacio de interés es el primer cohomology grupo $H^1(X,\mathcal O_D)$ $\mathcal O_D$ la gavilla de meromorphic funciones de $f$$\operatorname{div} f \ge -D$.

Con $\Omega^1_D$ la gavilla de meromorphic 1-formas $\omega$ satisfacción $\operatorname{div} \omega \ge -D$.
La dualidad de Serre, a continuación, se lee como $$ H^1(D)= \Omega^1_{-D}(X),~~~ \text{ resp } ~~~H^1(X,\mathcal O_D)= \Omega^1_{-D}(X).$$

En ambos casos, la dualidad mapa está dada por el residuo de mapa. Y las pruebas son de alguna manera similares, como la estrategia es a shaw que el adecuado definido resiude mapa es un isomorfismo.

Para calcular el Residuo de una cohomology de clase, Forster introduce los llamados Mittag-Leffler distribuciones, que para un determinado abierta cubriendo $\mathcal U$ son cochains $\mu \in C^0(\mathcal U, \mathcal M^1)$$\delta \mu \in Z^1(\mathcal U, \Omega^1)$, es decir, $\mu_j- \mu_i$ es holomorphic en $U_i \cap U_j$ y define $\operatorname{Res} (\mu)= \sum_{a \in X} \operatorname{Res}_a (\mu)$.
Él, a continuación, pruebe $\operatorname{Res}([\delta \mu])= \operatorname{Res}(\mu)$.

Tengo la sensación, de que ambos autores hacen básicamente lo mismo, pero usan diferentes palabras para describirlo. El uso de ambas versiones de la dualidad de Serre, los espacios son isomorfos, pero parece ser que hay un vínculo más directo.
Entonces, ¿qué es? En particular, ¿cómo se Mittag-Leffler Distribuciones relacionadas con Mittag Leffler problemas? Hasta ahora sólo pude observar que para un Mittag-Leffler de distribución de la serie de Laurent de la $\mu_i$ tienen la misma parte principal.

Answer 1

$\def\CC{\mathbb{C}}\def\cO{\mathcal{O}}\def\cK{\mathcal{K}}$Hay tres definiciones de coherente gavilla cohomology voy a querer comparar, aquí:

(1) Miranda de definición (que es bastante cerca de la adelic definición de Weil).

(2) Gavilla cohomology de funciones algebraicas en la topología de Zariski.

(3) Gavilla cohomology de holomorphic funciones en la analítica de la topología (Forster definición).

La igualdad de (2) y (3) es Serre de la GAGA, y no estoy seguro de que me puede decir nada intuitivos. Esta respuesta se centrará en la equivalencia de (1) y (2).

---

Deje $D$ ser un divisor apoyado en un subconjunto finito $S$$X$. Deje $U$ ser el conjunto abierto $X \setminus S$. Deje $\cO_U$ ser la gavilla en $X$ obtenido por impulsar la estructura de la gavilla $\cO$$U$. Tenga en cuenta que $\cO_U$ es acíclico, ya que es empujado hacia adelante a partir de la variedad afín $U$. Para $s \in S$, vamos a $(\cO_s)_s$ ser el rascacielos gavilla cuyo valor en $s$ es el anillo local $\cO_s$. Deje $\cK$ a ser el campo de meromorphic funciones en $X$ y deje $\cK_s$ ser el rascacielos gavilla igual a$\cK$$s$. Tenga en cuenta que, dado que son rascacielos poleas, $(\cO_s)_s$ $\cK_s$ son acíclicas.

A continuación tenemos una breve secuencia exacta de poleas: $$0 \to \cO \to \cO_U \oplus \bigoplus_{s \in S} (\cO_s)_s \to \bigoplus_{s \in S} \cK_s \to 0.$$ La exactitud se puede comprobar fácilmente en los tallos. Por lo $H^1(X, \cO)$ es el cokernel de $$H^0(X \setminus S, \cO) \oplus \bigoplus_{s \in S} \cO_s \longrightarrow \bigoplus_{s \in S} \cK.$$ Podemos cociente por la imagen del segundo sumando, y conseguir que el $H^1(X, \cO)$ es el cokernel de $$H^0(X \setminus S, \cO) \longrightarrow \bigoplus_{s \in S} \cK/\cO_s.$$

El cociente $\bigoplus_{s \in S} \cK/\cO_s$ es finito sumas $\sum^{\mathrm{finite}}_{j < 0} c_j z_s^j$ donde $z_s$ es una coordenada cerca de $s$. Así $$H^1(X, \cO) \cong \mathrm{CoKer} \left(H^0(X \setminus S, \cO) \longrightarrow \bigoplus_{s \in S} \left\{ \sum\nolimits^{\mathrm{finite}}_{j < 0} c_j z_s^j \right\} \right).$$

Si nos tensor de todo con $\cO(D)$, del mismo modo obtener $$H^1(X, \cO) \cong \mathrm{CoKer} \left(H^0(X \setminus S, \cO) \longrightarrow \bigoplus_{s \in S} \left\{ \sum\nolimits^{\mathrm{finite}}_{j < -D_s} c_j z_s^j \right\} \right).$$

Ahora, esto todavía no es muy de Miranda definición. El meromorphic funciones en $X$$\lim\limits_{S \to} H^0(X \setminus S, \cO)$, y el de Laurent colas son el límite del lado derecho de la $S$. Así que Miranda está trabajando con $$\mathrm{CoKer} \left( \lim\limits_{S \to}H^0(X \setminus S, \cO) \longrightarrow \lim\limits_{S \to} \bigoplus_{s \in S} \left\{ \sum\nolimits^{\mathrm{finite}}_{j < -D_s} c_j z_s^j \right\} \right).$$

Nuestro cálculo anterior muestra que el cokernel se estabiliza en $H^1(X, \cO_D)$ una vez $S$ es lo suficientemente grande como para apoyar a $D$, y cohomology desplazamientos con límites, por lo que Miranda la definición de las obras.