Cómo mostrar que $C[a,b]$ es infinito dimensional?

Question

¿Cómo podemos dar a una rigurosa prueba de que el hecho de que el espacio de $C[a,b]$ de todas continua reales (o complejos) con valores de funciones definidas en un intervalo cerrado $[a,b]$, donde $a$, $b$ son cualesquiera dos números reales tales que a $a<b$, es infinito-dimensional?

Nosotros, por supuesto, tomar la siguiente norma: $$ ||x|| := \max_{a\leq t \leq b} |x(t)|$$ for any $x \in C[a,b]$, la adición de vectores y saclar la multiplicación se define pointwise como de costumbre.

Answer 1

Sugerencia: esto no tiene nada que ver con la norma. Por ejemplo, usted puede observar que el $C[a,b]$ contiene el subespacio de todos los polinomios, que es infinito-dimensional.

Answer 2

Si el soporte de una función continua en a$[0,1]$$[k/n,(k+1)/n]$, entonces no se tiene un conjunto de $n$ funciones continuas, ninguno de los cuales es una combinación lineal de los otros. Por lo que la dimensión es, al menos,$n$. Para otros intervalos, se debe tener claro cómo hacer la misma cosa.