Suma de una serie infinita de fracciones

Question

Estoy dando un divertido paseo por la tierra de la Teoría de los Números, y estoy llevando a cabo una investigación sobre una suma infinita de fracciones. Estas fracciones tienen que ver con la cantidad de compuestos dentro de un número par. Todas las fracciones tienen que ver con el recíproco de un primo. Esta es mi suma:

$ \frac {1}{3} + \frac {1}{5} - ( \frac {1}{3}* \frac {1}{5}) + \frac {1}{7}-( \frac {1}{3} * \frac {1}{7} + \frac {1}{5}* \frac {1}{7}) + \frac {1}{11} - ( \frac {1}{3}* \frac {1}{11} + \frac {1}{5} * \frac {1}{11} + \frac {1}{7} * \frac {1}{11}) + ... $

No sé muy bien cómo simplificar la secuencia, o incluso si es convergente o divergente.

Cada término $ a_n $ en la serie involucra el siguiente mayor primo.

$ a_n = \frac {1}{p_n} - ( \frac {1}{p_{n-1}}* \frac {1}{p_n} + \frac {1}{p_{n-2}}* \frac {1}{p_n} + \ \ ...)$

Por lo tanto,

$ \frac {1}{7}-( \frac {1}{3} * \frac {1}{7} + \frac {1}{5}* \frac {1}{7})$

es un solo término, donde 7 sería $p$ y 5 serían $p_{n-1}$ y 3 serían $p_{n-2}$ .

EDITAR:

He tenido problemas para entender algunas de las respuestas (entiendo las matemáticas, pero no la respuesta). La base del problema era la siguiente: si 1/3 de todos los números enteros positivos son divisibles por 3, y 1/5 de todos los números enteros positivos son divisibles por 5, y hay una superposición aquí de 1/15, ( $ \frac {1}{3} * \frac {1}{5}$ ), entonces $ \frac {1}{3} + \frac {1}{5} - \frac {1}{15}$ representa todos los números que son divisibles por 3 o 5. Amplié esto para incluir todos los números primos de mi serie, y esperaba que alguien mostrara que la serie convergería en 1, lo que me permitiría continuar mi camino con un nuevo conocimiento.

Las pruebas de abajo muestran que esta suma va al infinito negativo, es decir, la cantidad de números compuestos expresados como algún número entre 0 y 1 va al infinito negativo. ¿Cómo es esto posible? (por favor proporcione una explicación en su respuesta o actualícela) Tal vez he cometido algún tipo de error lógico o conceptual que debe ser abordado, o tal vez hay realmente una buena manera de interpretar esta respuesta. Gracias!

Answer 1

Las sumas parciales pueden reordenarse como $$\sum_{k=2}^n a_k = \sum_{k=2}^n \frac{1}{p_k}\left(1 - \sum_{j=2}^{n-1} \frac{1}{p_j}\right) = \sum_{k=2}^n \frac{1}{p_k} - \sum_{2\le j < k \le n}\frac{1}{p_jp_k}\\ = \sum_{k=2}^n \frac{1}{p_k} - \frac12\left[ \left(\sum_{k=2}^n \frac{1}{p_k}\right)^2 - \left(\sum_{k=2}^n \frac{1}{p_k^2}\right)\right] $$ Se sabe que existen los siguientes límites

$$\lim_{N\to\infty}\left(\sum_{p_k \le N} \frac{1}{p_k} - \log\log N\right) = \gamma + \sum_{k=1}^\infty\left[\log\left(1 - \frac{1}{p_k}\right) + \frac{1}{p_k} \right]$$ (conocido como Constante de Mertens ). Junto con Teorema de los números primos que esencialmente dicen $p_n \sim n \log n$ para grandes $n$ y el siguiente límite: $$\sum_{k=2}^n \frac{1}{p_k^2} \le \sum_{k=2}^n \frac{1}{k^2} < \frac{\pi^2}{6} - 1 < \infty$$ Obtenemos $$\sum_{k=2}^n \frac{1}{p_k} \sim O(\log\log(n\log n)) \quad\implies\quad \sum_{k=2}^n a_k \sim O((\log\log(n\log n))^2)$$ La serie que nos ocupa diverge a $-\infty$ muy lentamente.

Actualización

Sobre la pregunta actualizada por qué la respuesta puede ser negativa.
Veamos el número $105 = 3\times 5 \times 7$ como ejemplo,

• lo has contado 3 veces, en $\frac13$ , $\frac15$ y $\frac17$ .
• lo cancelaste 3 veces, en $\frac13\times\frac15$ , $\frac13\times\frac17$ y $\frac15\times\frac17$ .

Esto significa que no está contando $105$ en absoluto.

En general, para cualquier número que contenga $m \ge 3$ factores primos distintos, se lo sobre cancelas $\frac{m(m-1)}{2} - (m - 1) = \frac{(m-1)(m-2)}{2}$ veces. Aunque la fracción de números que tienen un $m$ cada vez más pequeño a medida que $m$ aumenta, no baja lo suficientemente rápido como para suprimir este $O(m^2)$ dependencia. Al final, se sobrecancela demasiado y el resultado diverge a $-\infty$ .

Para tratar adecuadamente este tipo de recuento excesivo, es necesario utilizar Principio de inclusión-exclusión .
La expresión que debes utilizar debe ser algo así como

$$\sum_{2\le i_1\le n} \frac{1}{p_{k_1}} + \sum_{2\le i_1<i_2 \le n} \frac{(-1)}{p_{i_1} p_{i_2}} + \sum_{2\le i_1<i_2<i_3 \le n} \frac{(-1)^2}{p_{i_1} p_{i_2} p_{i_3}} + \cdots + \sum_{2\le i_1<\cdots<i_{n-1}\le n} \frac{(-1)^{n-2}}{p_{i_1} \cdots p_{i_{n-1}}} $$ Esto se puede reescribir como $\displaystyle\;1 - \prod_{k=2}^n\left(1 - \frac{1}{p_k}\right)\;$ y sí converge a $1$ como $n \to \infty$ .

Answer 2

Utilizando un poco menos de potencia de fuego que la excelente respuesta de achille hui, observe que

$${1\over3}+{1\over5}+\cdots+{1\over23}+{1\over29}\approx1.0334\gt1+{1\over100}$$

y por lo tanto

$$1-{1\over3}-{1\over5}-\cdots-{1\over p}\lt{-1\over100}\quad\text{if }p\ge29$$

Utilizando $S_{29}$ para denotar la parte inicial de la suma, la serie de la OP puede reescribirse como

$$S_{29}+{1\over31}\left(1-{1\over3}-{1\over5}-\cdots-{1\over 29}\right)+{1\over37}\left(1-{1\over3}-{1\over5}-\cdots-{1\over 31}\right)+\cdots\\\lt S_{29}-{1\over100}\left({1\over31}+{1\over37}+{1\over41}+\cdots\right)$$

Como la suma de los recíprocos de los primos diverge a $\infty$ la serie de la OP diverge a $-\infty$ .

Actualización (en respuesta a la pregunta adicional del OP): Entiendo lo que quieres decir. A grandes rasgos, quieres pensar en tu serie como el cálculo de la fracción de los enteros que no son potencias puras de $2$ cuya respuesta sería $1$ . Es decir, $1\over3$ de los enteros son múltiplos de $3$ un adicional $1\over5$ son múltiplos de $5$ pero que cuenta doblemente los múltiplos de $15$ , por lo que hay que restar una fracción ${1\over3}\cdot{1\over5}$ . Y así sucesivamente.

La mosca cae en la pomada aquí en el siguiente prime. Tiene mucho sentido, inicialmente, restar las fracciones ${1\over3}\cdot{1\over7}$ y ${1\over5}\cdot{1\over7}$ . Pero entonces hay que darse cuenta de que esto resta demasiado : Al ajustar a la baja los múltiplos de $21$ y $35$ , se ha ajustado a la baja dos veces para los múltiplos de $105$ . Este exceso de sustracción persiste, y empeora, a medida que se avanza en la serie.

Esperemos que esto ayude a explicar por qué la serie acaba desviándose a $-\infty$ .