Si un subgrupo actúa transitivamente sobre un conjunto, ¿el índice del subgrupo es igual al índice del estabilizador?

Question

Intento demostrar lo siguiente: Si un subgrupo $H < G$ actúa transitivamente sobre un conjunto $X$ entonces $[G:H] = [G_x:H_x]$ para cualquier $x \in X$ ( $H_x$ denota el estabilizador puntual de $x$ en $H$ .) Agradecería cualquier sugerencia.

(EDIT: Me interesa sobre todo el caso en que G y H sean infinitas. ¿Y si $X$ es infinito).

Answer 1

Si $G$ y $H$ ambos actúan sobre $X$ transitivamente, entonces por el Teorema Orbita-Estabilizador, $|G| = |X| |G_x|$ y $|H| = |X| |H_x|$ . Dividiendo estas dos ecuaciones se obtiene que $|G| / |H| = |G_x| / |H_x|$ es decir $[G \colon H] = [G_x \colon H_x]$ .

Answer 2

Para el caso en que $G, H$ puede ser infinita:

Considere $H< H<G \Rightarrow [H:H_x][G:H] =[G:H_x]$ y $H_x<G_x<G \Rightarrow [G_x:H_x][G: G_x]= [G:H_x]$ .

$\Rightarrow [G_x:H_x][G: G_x] = [H:H_x][G:H]$ . Desde $[G: G_x]=[H: H_x] = |X|$ Hemos terminado.

Nota: ¿Puedo asumir $[G: G_x]=[H: H_x]$ aunque $X$ no es finito?