Diferencia entre el$\mathop{\text{div}} \vec x$$\vec \nabla \cdot \vec x$?

Question

A menudo veo las siguientes notaciones para la divergencia en la Física teórica: $$ \mathop{\text{div}} \vec x \qquad \left\langle \vec \nabla, \vec x \right\rangle \qquad \vec \nabla \cdot \vec x $$

Del mismo modo, $\mathop{\text{curl}} \vec x$ ($\mathop{\text{rot}} \vec x$ en alemán) y $\vec \nabla \times \vec x$.

Hay una diferencia a esas anotaciones, o es cuestión de preferencia personal? Hay buenas razones para utilizar cualquiera de las notaciones? Veo que $\vec \nabla \times$ es internacional, pero "curl" y la "putrefacción" son diferentes en cada idioma.

Answer 1

Creo que la razón por la que la gente como $\text{div}$ es debido a $\nabla$ no es realmente un vector, y $\nabla\cdot$ no es realmente un producto interior. Dicho esto, creo $\nabla$ es mucho más legible y concisa, y que la mayoría de las personas entienden que es sólo la notación abreviada.

Answer 2

Es preferencia personal - todos los tres anotaciones significan el mismo operador.

Yo tiendo a usar "$\nabla\cdot x$" cuando estoy trabajando en coordenadas (generalmente en el plano de $\mathbb{R}^n$) y "$\operatorname{div}x$" cuando estoy trabajando en un colector general o sin coordenadas. El producto interior notación es útil para recordar lo que la coordenada de la fórmula para la divergencia, pero si quiero trabajar sin coordenadas, que sólo se pone en el camino.

Answer 3

La notación $\vec \nabla$$(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z})$.

A continuación, puede ver por qué decimos $\textrm{div}( \vec x) = \vec \nabla . \vec x$. Mismo para rizar.

Esta notación es muy útil recordar que la curvatura (curvatura) = grad(div) - $\Delta$.

Redacción $$\nabla \wedge \nabla \wedge x = \nabla ( \nabla. x)- \nabla^2 x$$ is the same formula as for the usual exterior product $\cuña$ : $$ a \wedge (b \wedge c) = b (a.c) - (a.b)c.$$