Lo que está mal con mi prueba?

Question

Para $x,y\in[0,1]$ deje $x\sim y$ fib $x=y$ o $x,y\in\Bbb Q$, y vamos a $X=[0,1]/\sim$; $X$ es el resultado de la identificación de $\Bbb Q\cap[0,1]$ a un punto.

Escribí una prueba de que la topología en $[0,1]/\sim$ es la topología trivial, me puede decir por favor donde está mi error? Gracias por la corrección de mí.

Deje $\pi:[0,1]\to [0,1]/\sim$. Deje $O\subseteq [0,1]/\sim$ ser un conjunto abierto, vamos a $[x]\in O$. A continuación, $\pi^{-1}O$ es abierto así que no es de$\varepsilon >0$, de modo que $B(x,\varepsilon)\subseteq \pi^{-1}O$. Entonces no es un racional $q$, de modo que $d(x,q)<\varepsilon / 3$ por lo tanto $[q]\in \pi B(x,\varepsilon)\subseteq O$.
Deje $\delta>0$ ser tal que $\pi B(q,\delta)\subseteq \pi B(x,\varepsilon /3)\subseteq O$. Deje $y$ ser un punto en $[0,1]$. Entonces no es un racional $q$$d(y,q)<\delta$. Por lo tanto,$[y]\in \pi B(q,\delta)\subseteq \pi B(x,\varepsilon)\subseteq O$. Por lo tanto, $O=[0,1]/\sim$ es todo el espacio si $O\neq \varnothing$.

Answer 1

(Por alguna razón nunca vi tus comentarios en mi respuesta a la pregunta anterior; no estoy seguro de lo que pasó. Sólo así, tal vez: tengo más espacio para contestar aquí.)

La primera mitad de su argumento es correcto: todos los no-vacío abierto subconjunto de $[0,1]/\sim$ contiene $[q]$. La segunda mitad no lo es. Deje $a$ ser cualquier irracional en $[0,1]$; a continuación, $\pi^{-1}\big[X\setminus\{[a]\}\big]=[0,1]\setminus\{a\}$ es un conjunto abierto en $[0,1]$, lo $X\setminus\{[a]\}$ está abierto en $X$, por lo que no llevan la topología indiscreta.

El mismo argumento se puede hacer para cualquier subconjunto cerrado $K$ de $[0,1]\setminus\Bbb Q$: $$\pi^{-1}\big[X\setminus\pi[K]\big]=[0,1]\setminus K\;,$$ which is open in $[0,1]$, so $X\setminus\pi[K]$ is open in $X$.

El punto específico de error en su argumento es aquí cuando dices

Deje $\delta>0$ ser tal que $\pi B(q,\delta)\subseteq \pi B(x,\varepsilon /3)\subseteq O$.

Para cualquier fija $q\in[0,1]\cap\Bbb Q$ tal $\delta$ puede ser encontrado, pero $\delta$ depende de $q$: diferentes valores de$q$, en general, requieren diferentes valores de $\delta$. En el caso de el abra $X\setminus\{[a]\}$ para algunos irracionales $a$, por ejemplo, racionales cerca de $a$ va a requerir más pequeños valores de $\delta$ de las que están más lejos de la $a$.

Answer 2

Creo que usted se equivocó cuando afirmó que $\pi^{-1}O$ fue un conjunto abierto. En general, esto no será cierto en $[0, 1]$; lo que es cierto es que hay algunos abren $A\subseteq[0, 1]$ tal que $\pi(A)=O$.