Si $X^n$ es una matriz diagonal con valores propios distintos, entonces es $X$ ¿también una matriz diagonal con valores propios distintos?

Question

Supongamos que existe una matriz invertible $P$ tal que $P^{-1}X^nP$ es una matriz diagonal con valores propios distintos, entonces puedo decir que $P^{-1}XP$ ¿es también una matriz diagonal con valores propios distintos? Si es así, ¿cómo puedo demostrarlo?

Answer 1

considerar las raíces enésimas de la unidad - $X^n=I$ pero $X \ne I$ . Ejemplo : $$\pmatrix{0 & 1 \\ 1 & 0 \\}^2 = \pmatrix{1 & 0 \\ 0 & 1}$$

Answer 2

Supongamos que $M^n$ es la matriz diagonal con la diagonal $(a_j)$ de entradas distintas, en particular $\prod\limits_{j}(M^n-a_j)=0$ . Así, $\prod\limits_j\prod\limits_{\ell=1}^n(M-b_{j,\ell})=0$ donde, para cada $j$ , $x^n-a_j=\prod\limits_{\ell=1}^n(x-b_{j,\ell})$ es decir, el $b_{j,\ell}$ son los $n$ las raíces de $a_j$ . Dado que todos los coeficientes $(b_{j,\ell})_{j,\ell}$ son distintos, el polinomio $\prod\limits_j\prod\limits_{\ell=1}^n(x-b_{j,\ell})$ tiene raíces simples y es nulo cuando se evalúa en $M$ . Así, $M$ es diagonalizable con una diagonal de entradas distintas, digamos, $M=QDQ^{-1}$ . Por lo tanto, $M^n=QD^nQ^{-1}$ y $D^n$ debe tener entradas diagonales $(a_j)$ desde $M^n$ y $D^n$ son similares. En otras palabras, $M^n=RD^nR^{-1}$ donde $R$ es una matriz de permutación y $(R^{-1}Q)M^n(Q^{-1}R)=M^n$ . Así, $Q=R$ Es decir, $Q$ era una matriz de permutación desde el principio y $QDQ^{-1}$ también es una matriz diagonal.

Por último, si $M^n$ es diagonal con elementos distintos, también lo es $M$ . Utilizando $M=A$ Esto responde a la pregunta que hizo el OP en un comentario. Para responder a la pregunta del OP en el post principal, aplique esto a $M=P^{-1}XP$ .

Answer 3

Es cierto que si $X^n$ es una matriz invertible, entonces $X$ es una matriz invertible, y que si $X^n$ tiene todos los valores propios distintos, entonces también $X$ .

Lo que queda por demostrar es que si $P$ es una matriz invertible que diagonaliza $X^n$ (por transformación de similitud $P^{-1} X^n P$ entonces $P$ también diagonalizará $X$ .

Si $X$ tiene todos los valores propios distintos, entonces tiene una base de vectores propios, y podemos tomarlos como columnas que forman la matriz invertible $Q$ tal que $Q^{-1} X Q$ es diagonal. También $Q^{-1} X^n Q$ es diagonal, y hasta una permutación de columnas en $Q$ obtendremos la misma matriz diagonal que $P^{-1} X^n P$ .

Llamemos a esa matriz diagonal $D$ teniendo en cuenta que todas sus entradas diagonales son distintas. Entonces $P^{-1} X^n P = D = Q^{-1} X^n Q$ implica $P D P^{-1} = Q D Q^{-1}$ . Por lo tanto, $Q^{-1} P D = D Q^{-1} P$ y tenemos $D$ se desplaza con $Q^{-1} P$ .

Reclamación: $R = Q^{-1} P$ es una matriz diagonal invertible. La prueba: La invertibilidad está clara ya que tanto $P$ y $Q$ son invertibles. Queda por demostrar $R$ es diagonal. Sea $R_{ij}$ sea una entrada no diagonal de $R$ , $i \neq j$ . Entonces la igualdad $R D = D R$ significa que la entrada *ij* es la misma, es decir $R_{ij} D_{jj} = D_{ii} R_{ij}$ . Dado que las entradas diagonales de $D$ son distintas, las entradas no diagonales de $R$ debe ser cero. QED

Así, $P$ es $Q$ por una matriz diagonal invertible $R$ y se deduce que $P$ diagonaliza $X$ tan bien como $Q$ lo hizo: $P^{-1} X P = R^{-1} Q^{-1} X Q R$ es diagonal.

Answer 4

Como el título y el cuerpo de tu pregunta no coinciden del todo, intentaré responder a ambos. Es de suponer que estás trabajando sobre un campo algebraicamente cerrado $\mathbb{F}$ Si no es así, que $X^n$ tienen valores propios en $\mathbb{F}$ no implica necesariamente que $X$ tiene valores propios en $\mathbb{F}$ .

Ahora, supongamos que $X^n$ es una matriz diagonal que, como sugiere el título de la pregunta, tiene $n$ distinto valores propios. Entonces $X$ también tiene $n$ valores propios distintos. Por lo tanto, existe una matriz invertible $S$ (que contiene vectores propios de $X$ como columnas) y una matriz diagonal $\Lambda$ tal que $X=S\Lambda S^{-1}$ . Por supuesto, $X^n=S\Lambda^nS^{-1}$ también es una matriz diagonal. Como ambas $X^n$ y $\Lambda^n$ son matrices diagonales que comparten el mismo conjunto de valores propios, debemos tener $X^n=P\Lambda^nP^T$ para alguna matriz de permutación $P$ . Por lo tanto, $S\Lambda^nS^{-1}=P\Lambda^nP^T$ o $P^TS=(\Lambda^+)^n(P^TS)\Lambda^n$ , donde $\Lambda^+$ denota el pseudoinverso de Moore-Penrose de $\Lambda$ . Desde $\Lambda$ tiene entradas diagonales distintas, se deduce que todas las entradas no diagonales de $P^TS$ son cero. Así, $S=PD$ para algunos invertible matriz diagonal $D$ . Por lo tanto, $X=S\Lambda S^{-1}=PD\Lambda D^{-1}P^T=P\Lambda P^T$ es una matriz diagonal. Por tanto, la afirmación del título de la pregunta es correcta.

Ahora pasamos a la pregunta de su cuerpo de preguntas. Si $P^{-1}X^nP$ es una matriz diagonal con valores propios distintos, sea $Y=P^{-1}XP$ . Entonces $Y^n$ es una matriz diagonal con valores propios distintos. Por el argumento anterior, $Y$ es también una matriz diagonal con valores propios distintos.