Otro contraejemplo -que debería haber visto enseguida- es el siguiente:
Dejemos que $K$ sea el campo de dos elementos, y sea $a$ sea una raíz de $x^4+x+1=0$ . En este caso $E=K(a)$ es el campo de 16 elementos, por lo que $Gal(E/K)$ es cíclico de orden 4. El mapa de Frobenius de Frobenius $F:E\rightarrow E, x\mapsto x^2$ es un generador del grupo de Galois. Si $H$ es el subgrupo generado por $F^2$ entonces nos encontramos con un problema similar, porque $$ Tr_{E/E^H}(a)=\sum_{\sigma\in H}\sigma(a)=a+a^4=1 $$ está en el campo principal.
El resultado positivo más evidente relacionado con esta cuestión es el siguiente. Hagamos una suposición más fuerte de que $a$ genera una base normal de $E/K$ es decir, el conjunto de conjugados de $a$ es un $K$ -base de $E$ . En ese caso está claro que $$ s:=Tr_{E/E^H}(a)=\sum_{\sigma\in H}\sigma(a) $$ es un punto fijo de un automorfismo $\tau\in Gal(E/K)$ si $\tau\in H$ porque de lo contrario violamos la independencia lineal (sobre $K$ ) de los conjugados de $a$ . Así, por correspondencia de Galois, el campo de extensión más pequeño de $K$ que contiene $s$ es $K(s)=E^H.$