Monotónica versión de aproximación de Weierstrass teorema de

Question

Deje $f\in\mathcal{C}^1([0,1])$ ser una función creciente de más de $[0,1]$.

Demostrar o refutar la existencia de una secuencia real de los polinomios de $\{p_n(x)\}_{n\in\mathbb{N}}$ con las propiedades:

• $p_n(x)$ no es una función decreciente $[0,1]$;
• el grado de $p_n$$n$;
• $\|f-p_n\|_{\infty}=\max_{x\in[0,1]}|f(x)-p_n(x)|=O\left(\frac{1}{n}\right)$.

Answer 1

Este es un comentario demasiado largo para caber en el formato habitual.

Si usted pidió un obligado en $\frac{1}{\sqrt{n}}$ más de $\frac{1}{n}$, entonces no sería una buena respuesta usando los polinomios de Bernstein (me resulta especialmente agradable como la prueba se compone de una cadena de desigualdades, cada uno de los una parte diferente de las matemáticas). En este caso todo lo que se comporta sin problemas : uno puede calcular un óptimo obligado para el error, y esto es alcanzado en racional de los valores.

Recordemos que el $n-th$ Berstein aproximación para $f$ es

$$ B_n(f)(x)=\sum_{k=0}^n f(\frac{k}{n})B_{n,k}(x) \ B_{n,k}(x)=\binom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k} \etiqueta{1} $$

Como se explica en el vinculado MO respuesta, un elegante probabilístico argumento muestra que $B_n(f)$ es no decreciente si $f$ es. Pongamos $M=\big|\big|\ f'\big|\big|_{\infty}$, por lo que $f$ $M$- Lipschitz. Entonces, uno puede mostrar la sorprendentemente simple cadena de desigualdades, cada uno "óptima" en su camino : para cualquier $x\in[\frac{i}{n},\frac{i+1}{n}]$, tenemos

$$ \big|B_n(f)(x)-f(x)\big| \leq 2M\binom{n-1}{i}x^{i+1} (1-x)^{n-i} \etiqueta{2} $$

cual es la óptima debido a que la desigualdad tiende a la igualdad cuando la $f'$ tiende a un protagonizaron función que es igual a $-M$$[0,x]$$+M$$[x,1]$. Siguiente

$$ 2M\binom{n-1}{i}x^{i+1} (1-x)^{n-i} \leq 2M\binom{n-1}{i} \frac{(i+1)^{i+1} (n-i)^{n-i}}{(n+1)^{n+1}} \etiqueta{3} $$

que es óptimo, porque se convierte en una igualdad de $x=\frac{i+1}{n+1}$ ; y

$$ 2M\binom{n-1}{i} \frac{(i+1)^{i+1} (n-i)^{n-i}}{(n+1)^{n+1}} \leq 2M\binom{n-1}{\lfloor\frac{n+1}{2}\rfloor} \frac{(\lfloor\frac{n+3}{2}\rfloor)^{\lfloor\frac{n+3}{2}\rfloor} (\lceil\frac{n-1}{2}\rceil)^{\lceil\frac{n-1}{2}\rceil}}{(n+1)^{n+1}} \etiqueta{4} $$

que es óptimo, porque se convierte en una igualdad de $i=\lfloor\frac{n+1}{2}\rfloor$. Finalmente, Stirling, la fórmula muestra que el lado derecho de arriba es asintóticamente equivalente a $\frac{1}{\sqrt{\pi n}}$.

Answer 2

Este es demasiado largo para un comentario, demasiado. Experimentalmente, otro tipo de enfoque conduce a mejores aproximaciones. Supongamos que queremos un polinomio de aproximación de grado $n$ $\mathcal{C}^1([0,1])$- función de $f(x)$ $O(n^{-1})$ término de error. Considere la función $g(x)$ cuya gráfica es la envolvente convexa de los puntos de $(0,f(0)),(1/n,f(1/n),\ldots,(1,f(1))$. Claramente: $$\| f(x)-g(x)\|_{\infty} \leq \frac{M}{n},$$ donde $M$ es el Lipshitz constante de $f(x)$, es decir,$\max_{x\in[0,1]}|f'(x)|$. Si $f(x)$ no es una función decreciente, el más fuerte $$\| f(x)-g(x)\|_{\infty} \leq \frac{M}{2n}$$ sostiene. Vamos ahora a $h_p(x)$ ser un "paso-identidad" función continua de la forma $$ h_p(x)=\left\{\begin{array}{rl}0 &\mbox{if }x\leq p,\\(x-p) &\mbox{if }x\geq p.\end{array}\right.$$ Si $t>0$, $k_{p,t}(x)=h_{p}(x)-h_{p+t}(x)$ es un continuo "paso-identidad-paso" de la función cuya derivada es cero para $x<p$ o $x>p+t$ y uno para $x\in(p,p+t)$. Por otra parte, $g(x)$ se puede escribir como una combinación lineal de $k_{p,t}$-funciones, es decir: $$ g(x) = \sum_{j=0}^{n-1} \frac{f\left(\frac{j+1}{n}\right)-f\left(\frac{j}{n}\right)}{\frac{1}{n}}\,k_{\frac{j}{n},\frac{1}{n}}(x), $$ así que el problema puede ser sustancialmente reformulada como: encontrar el polinomio de aproximaciones de $k_{0,\frac{1}{n}}(x)$ que no decreciente y tiene un $\|\cdot\|_{\infty}$-término de error acotado por la constante de veces el recíproco de la titulación. Hasta la integración, esto es lo mismo que encontrar una positiva y la "buena" polinomio de aproximación de la función característica de la $[0,1/n]$ intervalo. Los polinomios de Bernstein casi hacer esto, ya que son positivas, pero con el mal término de error.

Otra reformulación es encontrar un apretado polinomio cota superior para el valor absoluto de la función sobre la $[-1,1]$-intervalo. Un clásico de probar es a considerar $q_n(y)$ como la serie de Taylor truncada de $\sqrt{1-y}$ w.r.t. $y=0$ y tome $p_n(x)=q_n(1-x^2)$. Esto le da a $q_n(x)\geq|x|$ como quería, pero el término de error es:$q_n(0)=O\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$, demasiado grande. Otra prueba es la de considerar las transformadas de Fourier-aproximación de Chebyshev de $|x|$, es decir, $$ p_{2n}(x) = \frac{2}{\pi}-\frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^k T_{2k}(x)}{4k^2-1}. $$ $p_{2n}(x)=|x|$ mantiene en $2n+2$ puntos, por lo $p_{2n}(x)$ no es una cota superior ni un límite inferior para $|x|$, pero $|p_{2n}(x)-|x||$ es una rápida disminución de la función: $$|p_{2n}(x)-|x||\leq \min\left(\frac{2}{(2n+1)\pi},\frac{1}{2\pi n^2 |x|}\right) $$ y el término de error es la correcta: $\|p_{2n}(x)-|x|\|_{\infty}=p_{2n}(0)=\frac{2}{(2n+1)\pi}=O\left(\frac{1}{n}\right)$. Si nos aproximado de $k_{0,\frac{1}{n}}$$p_{2n}(x)-p_{2n}(x-1/n)$, $g(x)$ con estos aproxima $k$s, y terminamos con un polinomio de aproximación de $r_{2n}(x)$ $f(x)$ que satisface: $$ \|f(x)-r_{2n}(x)\|_{\infty}\leq \frac{M}{n}+Mn\int_{-1}^{1}\min\left(\frac{2}{(2n+1)\pi},\frac{1}{2\pi n^2 |x|}\right)dx=O\left(\frac{\log n}{n}\right),$$ que es mucho mejor que la de Bernstein aproximación, pero todavía no lo queremos.

Podemos aprovechar las oscilaciones de la Chebyshev aproximaciones con el fin de eliminar el logarítmica del factor en el lado derecho? *ACTUALIZACIÓN:* yo creo que no, ya que hemos sustancialmente construido un trigonométricas polinomio de aproximación a través de la convolución con respecto al kernel de Dirichlet, cuyas $L^1$-la norma es no acotado, sino $\Theta(\log n)$ (este hecho da origen al fenómeno de Gibbs, para istance); a continuación, una reformulación es encontrar un "buen" trigonométricas kernel, para que "bueno" significa no negativo (en el fin de preservar la monotonía) y casi ortogonal a la continua, por tramos de las funciones lineales. En la literatura he encontrado que el Jackson núcleo, que es la plaza de el kernel de Fejer, satisface a todos los prescritos propiedades, pero todavía no estoy satisfecho, ya que los coeficientes de Fourier de los Jackson núcleo son bastante complicadas.

Con el fin de obtener una monótona polinomio de aproximación de no-decreciente $\mathcal{C}^1([0,1])$-función de $f(x)$, se puede elegir un positivo $K$ tal que $\sqrt{f'(x)+K}$ es regular, suficiente para asegurar la existencia de una $O(n^{-1})$-polinomio de aproximación, luego replicar fedja del argumento, pero el primer paso parece que todavía fuera de su alcance, en realidad.