Regla del producto en cálculo

Question

Esta es una pregunta maravillosa que encontré mientras hacía cálculos. Todos sabemos que$$\frac{d(AB)}{dt} = B\frac{dA}{dt} + A\frac{dB}{dt}.$ $ ahora si$A=B$ da un ejemplo para el cual $$ \ frac {dA ^ 2} {dt} \ neq 2A \ frac {dA} {at}. $$

He intentado muchos ejemplos y no pude obtener un ejemplo, ¿alguna ayuda?

Answer 1

Si $A=|t|$,$A^2 = t^2$; por lo $\frac{dA^2}{dt} = \frac{d}{dt}t^2 = 2t$ todos los $t$.

Por otro lado, $$\begin{align*} 2A\frac{dA}{dt} &= \left\{\begin{array}{ll} 2|t|&\text{if }t\gt 0;\\ 2|t|(-1)&\text{if }t\lt 0 \end{array}\right.\\ Y= 2t,\quad t\neq 0.\end{align*}$$ De modo que sean iguales, donde ambos están definidos, pero no es igual a $t=0$ $2A\frac{dA}{dt}$ no existe.

Para más radical ejemplo, tomar $$A(t) = \left\{\begin{array}{ll}1 &\text{if }t\in\mathbb{Q},\\ -1&\text{if }t\notin\mathbb{Q}. \end{array}\right.$$

A continuación, $A(t)$ no es continua en cualquier lugar, por lo que la derivada no existe en ninguna parte; sin embargo, $(A(t))^2 = 1$ todos los $t$, por lo que la derivada siempre existe (y es igual a $0$). Mirando $$\frac{d}{dt}A^2 = 2A\frac{dA}{dt},$$ el lado izquierdo tiene sentido, pero el lado derecho no (ya $\frac{dA}{dt}$ no existe).

El punto clave aquí es que el Producto de la Regla se supone que ambos factores son diferenciables. Es posible que para que un producto sea diferenciable y, sin embargo, para cada factor a no ser diferenciable. En esa situación, el Producto de la Regla no se aplica.

Answer 2

observemos la función

$y=(f(x))^2$, esta función se puede descomponer como el compuesto de dos funciones:

$y=f(u)=u^2$ y$u=f(x)$

Asi que :

$\frac { d y}{ d u}=(u^2)'_u=2u=2f(x)$

$\frac{du}{dx}=f'(x)$

Por la regla de la cadena sabemos que:

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}=2f(x)f'(x)$