¿Se necesita siempre una sustitución para cambiar los límites de una integral?

Question

For example:

Supongamos que tenemos una fuerza impulsiva $f(t)$ que dura desde $t=t_0$ hasta $t=t_1$ que se aplica a una masa $m$ . Entonces por la segunda ley de Newton tenemos $$\int_{t=t_0}^{t=t_1}f(t)\,\mathrm{d}t=\int_\color{red}{t=t_0}^\color{red}{t=t_1}m\color{blue}{\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}}\mathrm{d}t=\int_\color{red}{v=v_0}^\color{red}{v=v_1}m\,\mathrm{d}v=m(v_1-v_0)\tag{1}$$

Lo que no puedo entender es; ¿Qué sustitución se hizo para permitir que los límites marcados $\color{red}{\mathrm{red}}$ para pasar de $t$ a $v$ .

Pensé que podría ser debido a $$\color{blue}{\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}}=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}\cdot \underbrace{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}_{\Large{\color{#180}{=v}}}=v\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}$$ por la regla de la cadena.

Pero es algo mucho más sencillo que esto, y creo que le estoy dando demasiadas vueltas. Podría alguien decirme qué sustitución se hizo para cambiar los límites marcados $\color{red}{\mathrm{red}}$ en la ecuación $(1)$ ?

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Edita:

Los comentarios a continuación parecen indicar que uno puede simplemente cambiar los límites de integración para hacer la integral dimensionalmente correcta. Pero considero que este es un enfoque menos riguroso, y me enseñaron que los límites integrales debe modificarse mediante una sustitución. Entonces, ¿aún necesito saber qué sustitución se ha hecho?

Gracias de nuevo.

Answer 1

La razón fundamental para cambiar los límites de integración es que el variable de integración ha cambiado.

La sustitución es un caso obvio en el que es probable que esto ocurra. Por ejemplo, sustituir $u = x - 2$ en $\int (x - 2) dx$ : $$ \int_0^2 (x - 2) dx = \int_{-2}^0 u\; du. $$ La intuición que sigo al respecto es que el inicio de la integral se produce "cuando $x=0$ " y termina "cuando $x=2$ ". Pero "cuando" $x=0$ también debe ser cierto que $u=-2$ , y "cuando" $x=2$ también debe ser cierto que $u=0$ . Así que en términos de $u$ , la integral necesita empezar "cuando $u=-2$ " y al final "cuando $u=0$ ".

Un tratamiento más riguroso llevaría $x - 2$ como función sobre el dominio $[0,2]$ y transformarla; pero transformar la función también transforma su dominio, por lo que $x - 2$ sobre el dominio $[0,2]$ se transforma en $u$ sobre el dominio $[-2,0]$ .

Cualquier cosa que cambia la variable de integración de una integral definida también debe reflejarse en los límites de integración, porque al igual que con cualquier sustitución, estás integrando una (posiblemente) función diferente sobre un dominio (posiblemente) diferente. Es decir, si el integrando cambia de $f(t)dt$ a $h(v)dv$ (aunque $h(v)$ es una función constante, como en la pregunta), la integral sobre $v$ debe empezar y terminar en $v$ -valores que son coinciden correctamente con los $t$ -en los que la integral sobre $t$ empezó y terminó.

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Obsérvese que en cualquier cambio de variables, independientemente de que lo consigamos escribiendo primero una fórmula de sustitución explícita (como $u = x - 2$ ), tiene que tener en cuenta la derivada de la nueva variable de integración con respecto a la anterior. Para una sustitución de $t$ a $u$ a través de la ecuación $u = h(t)$ la derivada de la nueva respecto a la anterior es $\dfrac{du}{dt} = h'(t)$ y se tiene en cuenta en la regla $$ \int g(h(t))\, h'(t)\, dt = g(u)\, du. $$ Hasta donde yo sé, un cambio de variables no debe romper esta regla, por lo que de alguna manera debe haber una sustitución $u = h(t)$ que pueda explicarlo.

En la integral de la pregunta, $f(t) = m \dfrac{d^2 x}{dt^2}$ . Si $\dfrac{dx}{dt} = v = h(t)$ y si $g$ es la función constante con valor $m$ , entonces $\dfrac{d^2 x}{dt^2} = \dfrac{dv}{dt} = h'(t)$ y $g(h(t)) = m$ Así que $$ \int m \frac{dv}{dt} \, dt = \int g(h(t))\, h'(t)\, dt = \int g(v)\, dv = \int m \, dv. $$ La integral definida sigue la misma regla pero además tiene que hacer la cambio correspondiente en el intervalo de integración: $$ \int_{t_0}^{t_1} g(h(t))\, h'(t)\, dt = \int_{h(t_0)}^{h(t_1)} g(v)\, dv; $$ ajuste $v_0=h(t_0)$ y $v_1=h(t_1)$ , $$ \int_{t_0}^{t_1} m \frac{dv}{dt} \, dt = \int_{h(t_0)}^{h(t_1)} m \, dv = \int_{v_0}^{v_1} m \, dv. $$

Answer 2

Aparte de tus prefactores (como la masa), cuando integras $dv/dt$ integras la derivada de una función, de ahí que todos sepamos que la respuesta es la propia función. Por lo tanto: $$\int_{t_0}^{t_1} v^{\prime}(t)\, dt = v(t_1) - v(t_0)$$