Supongamos que tenemos un finito (dimensiones) se encuentran el grupo de G con la Mentira de álgebra g. Estoy interesado en las propiedades de la tangente bundle TG=⨆g∈GTgG≅g×G.
Específicamente, quiero equipar TG con un producto de lo que es una Mentira grupo. Por supuesto, sólo pudo definir el componente de un producto sabio, como g es un espacio vectorial y por lo tanto un aditivo Mentira grupo. Pero esto me parece antinatural, ya que ignora la posible no-conmutatividad de la G.
A partir de La Tangente paquete de una mentira grupo es isomorfo a un semidirect producto. obtenemos un resultado más natural y estructura de grupo en la tangente paquete, inducida por la semi-directa exterior del producto: g⋊.
Ahora mis preguntas:
- Supongamos G es una Matriz de una Mentira grupo. Hay un fácil / camino obvio para representar a \mathfrak g \rtimes_{\operatorname{Ad}} G como una Matriz de Lie del grupo? Esto se consigue fácilmente en el especial euclidiana grupo \mathbb{SE}(3) \cong \mathbb R^ 3 \rtimes \mathbb{SO}(3), lo que parece ser similar a la pregunta abstracta.
- ¿Qué es el álgebra de la Mentira de TG? Una elección obvia sería \mathfrak g \rtimes_{\operatorname{ad}} \mathfrak g, pero, ¿inducir la correcta Mentira soporte? A mí me parece, que dependiendo de G, \operatorname{ad}(g)(\cdot) no puede ser una automorphism de \mathfrak g. A continuación, \mathfrak g \rtimes_{\operatorname{ad}} \mathfrak g no sería bien definido.
- Hay una buena representación de \exp_{TG} en el escenario?