Estructura del grupo de mentira del paquete de la tangente

Question

Supongamos que tenemos un finito (dimensiones) se encuentran el grupo de $G$ con la Mentira de álgebra $\mathfrak g$. Estoy interesado en las propiedades de la tangente bundle $$TG = \bigsqcup\limits_{g \in G} T_gG \cong \mathfrak g\times G.$$

Específicamente, quiero equipar $TG$ con un producto de lo que es una Mentira grupo. Por supuesto, sólo pudo definir el componente de un producto sabio, como $\mathfrak g$ es un espacio vectorial y por lo tanto un aditivo Mentira grupo. Pero esto me parece antinatural, ya que ignora la posible no-conmutatividad de la $G$.

A partir de La Tangente paquete de una mentira grupo es isomorfo a un semidirect producto. obtenemos un resultado más natural y estructura de grupo en la tangente paquete, inducida por la semi-directa exterior del producto: $\mathfrak g \rtimes_{\operatorname{Ad}} G$.

Ahora mis preguntas:

1. Supongamos $G$ es una Matriz de una Mentira grupo. Hay un fácil / camino obvio para representar a $\mathfrak g \rtimes_{\operatorname{Ad}} G$ como una Matriz de Lie del grupo? Esto se consigue fácilmente en el especial euclidiana grupo $\mathbb{SE}(3) \cong \mathbb R^ 3 \rtimes \mathbb{SO}(3)$, lo que parece ser similar a la pregunta abstracta.
2. ¿Qué es el álgebra de la Mentira de $TG$? Una elección obvia sería $\mathfrak g \rtimes_{\operatorname{ad}} \mathfrak g$, pero, ¿inducir la correcta Mentira soporte? A mí me parece, que dependiendo de $G$, $\operatorname{ad}(g)(\cdot)$ no puede ser una automorphism de $\mathfrak g$. A continuación, $\mathfrak g \rtimes_{\operatorname{ad}} \mathfrak g$ no sería bien definido.
3. Hay una buena representación de $\exp_{TG}$ en el escenario?

Answer 1

El analolgy para el grupo de los movimientos en la pregunta 1 en realidad no funciona tan fácilmente. La diferencia es que la representación de $\mathbb R^3$ $SO(3)$ que están formando el semidirect producto con la misma representación que se han utilizado para hacer $SO(3)$ en un grupo de matrices. Esto casi nunca ser verdaderas para que el medico adjunto de la representación de una matriz de grupo $G$, ya que es como ver una $N$-dimensional grupo como un subgrupo de $GL(N,\mathbb R)$.

En general, no estoy seguro de si la imagen de $G$ bajo $Ad$ es automáticamente un subgrupo cerrado de $GL(\mathfrak g)$. Si lo es y $G$ fue originalmente un subgrupo cerrado en $GL(n,\mathbb R)$, entonces usted puede darse cuenta de $\mathfrak g\rtimes_{Ad}G$ cerrado sugroup en $GL(\mathfrak g\oplus \mathbb R^{n+1})$, considerando el bloque de matrices de la forma $\begin{pmatrix} Ad(A) & 0 & X \\ 0 & A & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$ $A\in G$ $X\in\mathfrak g$ . (Este es uno de los casos en los que la vida es mucho más fácil con la Mentira de los grupos que con la matriz de grupos.)

Sobre la Mentira de álgebra, tienes razón, es $\mathfrak g\times\mathfrak g$ con el soporte de la $[(X_1,X_2),(Y_1,Y_2)]=([X_2,Y_1]-[Y_2,X_1],[X_2,Y_2])$. Usted no necesita $ad(X)$ a ser un automorphism para que esto funcione, pero una derivación, y esto siempre es cierto por la identidad de Jacobi.

Yo creo que la exponencial mapa puede ser expresado muy bien en esta foto, pero no estoy seguro de cuál es el resultado parece.