Expresión de $1+a_1(b_1+a_2(b_2+a_3(b_3+a_4(b_4+a_5(\cdots)))))$ como una fracción continua infinita.

Question

Euler derivada de la siguiente identidad $$ 1+a_{1}+a_{1}a_{2}+a_{1}a_{2}a_{3}+\cdots= \cfrac{1}{ 1- \cfrac{a_{1}}{ 1+a_{1}- \cfrac{a_{2}}{ 1+a_{2}- \cfrac{a_{3}}{ 1+a_{3} - \ddots}}}}\;\;\;\;\;\;\;(1) $$ donde el lado izquierdo se puede expresar como $$ 1+a_1(1+a_2(1+a_3(1+a_4(1+a_5(\cdots)))))\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2) $$ Ahora supongamos que vamos a reemplazar los $1$'s $b_{i}$'s tenemos $$ 1+a_{1}(b_{1}+a_{2}(b_{2}+a_3(b_{3}+a_4(b_{4}+a_5(\cdots)))))\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3) $$ Mi pregunta es: ¿Es posible expresar $(3)$ como un infinito continuó fracción?

Gracias.

Answer 1

La respuesta es más fácil de lo que pensaba al principio, $(3)$ puede ser expresado en la forma de $(2)$ como sigue: $$ 1+a_{1}b_{1}\left(1+\frac{a_{2}b_{2}}{b_{1}}\left(1+\frac{a_{3}b_{3}}{b_{2}}\left(1+\frac{a_{4}b_{4}}{b_{4}}(1+\cdots)\right)\right)\right) $$ Así que la respuesta a la pregunta es sí. $$ 1+a_{1}(b_{1}+a_{2}(b_{2}+a_3(b_{3}+a_4(\cdots)))= \cfrac{1}{ 1- \cfrac{a_{1}b_{1}}{ 1+a_{1}b_{1}- \cfrac{\frac{a_{2}b_{2}}{b_{1}}}{ 1+\frac{a_{2}b_{2}}{b_{1}}- \cfrac{\frac{a_{3}b_{3}}{b_{2}}}{ 1+\frac{a_{3}b_{3}}{b_{2}} - \ddots}}}} $$