Resolver una desigualdad que implique una fracción

Question

Tengo la siguiente desigualdad:

$$ \frac{x-1}{x+2} \geq 0.$$

Lo resolví bastante rápido:

$$\begin{align} \frac{x-1}{x+2} +1 & \geq 1\\\\ \left(\frac{x-1}{x+2} + 1\right)\cdot(x+2) & \geq 1 \cdot (x+2)\\\\ x-1 + 1\cdot(x+2) & \geq 1\cdot (x+2)\\\\ 2x + 1 & \geq x+2\\\\ x + 1 & \geq 2\\\\ x & \geq 1 \end{align}$$

Pero esa no es la única solución, la otra solución es $x < -2$ . ¿Cómo puedo llegar a esta solución?

Answer 1

En primer lugar, ten en cuenta que al multiplicar por un número negativo la desigualdad cambia de signo. En general, si $\dfrac{a}{b} > 0$ tenemos $a>0, b>0$ o $a<0, b<0$ . Por lo tanto, obtenemos que $$(x-1) > 0, \,\,\,\,\, (x+2) > 0 \text{ i.e. } x>1$$ o $$(x-1) < 0, \,\,\,\,\, (x+2) < 0 \text{ i.e. }x < -2$$ Si $\dfrac{x-1}{x+2} = 0$ entonces $x=1$ . Por lo tanto, la solución es $$x \in (-\infty,-2) \cup [1,\infty)$$

Answer 2

El $=0$ es fácil. Así que vamos a preocuparnos por la $\gt 0$ parte.

Nuestra expresión sólo puede cambiar de signo cuando la parte superior cambia de signo, o cuando la parte inferior cambia de signo. Por lo tanto, los únicos candidatos al "cambio de signo" son $x=1$ y $x=-2$ .

De ello se deduce que nuestra función es de signo uniforme en $(-\infty,-2)$ , también en $(-2,1)$ , también en $(1,\infty)$ .

En cada una de estas regiones, sind a punto de prueba Cualquier punto es suficiente.

Para la región $(-\infty,-2)$ Utiliza, por ejemplo, el punto de prueba $x=-12$ . Nuestra función es $\frac{-13}{-10}$ en este punto, positivo . Por lo tanto, nuestra función es positiva en todos los $(-\infty,-2)$ .

Para el intervalo $(-2,1)$ Utiliza el punto de prueba $x=0$ . En $0$ nuestra función es claramente negativa, por lo que es negativa en todo el intervalo.

Por último, utilice un punto de prueba en $(1,\infty)$ para concluir que nuestra función es positiva en ese intervalo.

Answer 3

Una idea geométrica aplicada al álgebra: multiplicar la desigualdad por una cantidad positiva, para no tener problemas con el sentido del signo de la desigualdad:

$$\frac{x-1}{x+2}\geq 0\Longleftrightarrow \frac{x-1}{x+2}\cdot(x+2)^2\geq 0\cdot(x+2)^2\Longrightarrow (x-1)(x+2)\geq 0$$

El lado izquierdo es una parábola que se abre hacia arriba y desaparece en $\,x=-2\,,\,1\,$ y por la imagen geométrica podemos ver que la parábola se encuentra por encima de la $\,x-$ eje, que es lo que queremos, precisamente cuando $\,x<-2\,\,\;\vee\;\,\,x>1\,$ .

Por último, sólo hay que añadir el punto $\,x=1\,$ a lo anterior ya que teníamos una desigualdad débil.