Valor esperado de $g(x, y)$ sin necesidad de su distribución conjunta

Question

Para dos variables aleatorias: $X$, $Y$. Si sus distribuciones marginales se dan $f_X(x)$, $f_Y(y)$ e $g(x, y)$ es alguna función de $X$ e $Y$. Puedo obtener el valor esperado de $g(x, y)$ si sé que su matriz de covarianza, pero no tengo su distribución conjunta $f_{X,Y}(x, y)$

Answer 1

He aquí un explícito contraejemplo:$\DeclareMathOperator{\E}{\mathbb E}$

Considere la función $g(x, y) = x^2 y^2$ y las distribuciones marginales $X \sim \mathcal N(0, 1)$, $Y \sim \mathcal N(0, 1)$, y no covarianza: $\E[X Y] = 0$.

Si $X$ e $Y$ son independientes, por lo que $\begin{bmatrix}X \\ Y\end{bmatrix} \sim \mathcal N\left( \begin{bmatrix}0 \\ 0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \right)$, entonces $$ \E\left[g(X, Y)\right] = \E\left[X^2 Y^2\right] = \E\left[X^2\right] \E\left[Y^2\right] = 1 .$$

Pero en lugar de considerar el caso de $Y = Z X$, donde $Z \sim \operatorname{Uniform}(\{-1, 1\})$ es independiente.

Se puede comprobar que la distribución marginal de $Y$ sigue siendo la correcta: \begin{align} \Pr(Y \le y) &= \Pr(Z X \le y) \\&= \Pr(Z = 1) \Pr(X \le y \mid Z = 1) + \Pr(Z = -1) \Pr(X \ge -y \mid Z = -1) \\&= \frac12 \Pr(X \le y \mid Z = 1) + \frac12 \Pr(X \ge -y \mid Z = -1) \\&= \frac12 \Pr(X \le y) + \frac12 \Pr(X \ge -y) \\&= \Pr(X \le y) \end{align} debido a $Z$ es independiente de $X$ y la distribución de $X$ es simétrica alrededor de 0.

También tenemos que $X$ e $Y$ son no correlacionados: $$ \E[X Y Z] - \E[X] \E[Y] = \E[X (Z X)] - 0 = \E[X^2] \E[Z] = 1 \cdot 0 = 0 .$$

Pero la expectativa de $g$ es diferente que el otro caso: $$ \E\left[g(X, Y)\right] = \E\left[X^2 Y^2\right] = \E\left[X^2 (Z X)^2\right] = \E\left[X^4\right] \E\left[Z^2\right] = 3 .$$

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He aquí uno de los casos donde se puede calcular: supongamos que $g$ es de la forma $$g(x, y) = g_x(x) + g_y(y) + \alpha x y + \beta.$$ Entonces $$ \E[g(X, Y)] = \E[g_x(X)] + \E[g_y(Y)] + \alpha \E[X Y z] + \beta ,$$ así que usted puede calcular las expectativas de $g_x$ e $g_y$ el uso de la distribución marginal, y usted sabe $\E[X Y] = \rho + \E[X] \E[Y]$.

Answer 2

Puede haber casos especiales, pero en general, Si usted puede obtener cualquier $E[g(x,y)]$, entonces usted podría conseguir a cualquier articulación momento. Y, que debe revelar la distribución conjunta, y no creo que usted puede hacer esto usando sólo una matriz de covarianza.

Pensando en 1D, si tienes cualquier momento, usted puede escribir el momento de generación de función, que conducen a la función característica, que también llevó a PDF. En 2D, si usted tiene cualquier conjunto de momento, que debe de alguna manera del mismo modo conducir a la articulación PDF.