En una representación de $S_n$.

Question

Fijar un número natural $n$, y un complejo espacio vectorial $V$ de la dimensión de $d$. Considere la posibilidad de la representación de la $S_n$ a $V^{\otimes n}$ dado por $\rho(\sigma)(v_1\otimes\cdots\otimes\cdots v_n)=v_{\sigma(1)}\otimes\cdots v_{\sigma(n)}$. Esta no es una representación irreducible (los invariantes son los simétricos de los poderes). Existe una formula para su descomposición en representaciones irreducibles, y por tanto su carácter, para cualquier $d$?

Answer 1

Como una representación de $S_n$, $V^{\otimes n}$ es sólo una permutación de la representación: es decir, si $X = \{ e_1, \dots e_d \}$ es cualquier base de $V$, es la permutación de la representación de la permutación de acción de $S_n$ sobre el conjunto de funciones de $[n] = \{ 1, 2, \dots n \}$ a $X$.

En consecuencia, su carácter es muy fácil de calcular: su valor en una permutación $\sigma \in S_n$ es el número de puntos fijos de $\sigma$ que actúa sobre el conjunto de funciones $[n] \to X$, que os invito a comprobar es igual a $d^{c(\sigma)}$ donde $c(\sigma)$ es el número total de ciclos de $\sigma$.

La descomposición en irreducibles es más difícil, pero más interesante. Tenga en cuenta que $V^{\otimes n}$ también tiene una acción de $GL(V)$de los desplazamientos con la acción natural de la $S_n$, y como resulta que también tiene una descomposición en representaciones irreducibles de $GL(V)$ así como $S_n$. Schur-Weyl dualidad se relaciona con estos descomposiciones: se dice que tenemos una descomposición

$$V^{\otimes n} \cong \bigoplus_{\lambda} V_{\lambda} \otimes S_{\lambda}$$

donde la suma se ejecuta sobre las particiones de $n$, $S_{\lambda}$ es el correspondiente Specht módulo, y

$$V_{\lambda} \cong \text{Hom}_{S_n}(S_{\lambda}, V^{\otimes n})$$

es, por definición, la correspondiente Schur functor, el cual es una representación irreducible de $GL(V)$ o cero. Los dos más simples casos especiales son los simétrica y exterior de poderes, que corresponden a la trivial y firmar declaraciones de $S_n$ respectivamente.

Los caracteres de expresiones algebraicas de $GL(V)$ puede ser identificado con la simétrica de las funciones de $d$ variables (mirando a la restricción de la diagonal de las matrices), y en consecuencia el carácter de $V_{\lambda}$ es el correspondiente Schur polinomio $s_{\lambda}$. En particular, el uso de todos los $1$s a la Schur polinomio da $\dim V_{\lambda}$ y, por tanto, la multiplicidad de $S_{\lambda}$ en $V^{\otimes n}$; esta fórmula se puede encontrar aquí.