Cómo calcular el límite, $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{3x^2-3x\sin x}{x^2+x\cos1/x}$

Question

Cómo calcular el límite, <span class="math-container">$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{3x^2-3x\sin x}{x^2+x\cos\frac{1}{x}}$ $</span>

Answer 1

Reescribir $$\lim_{x\to 0}\frac{3x^2-3x\sin x}{x^2+x\cos\frac{1}{x}}=\lim_{x\to 0}\frac{3x^2-3x\sin x}{x(x+\cos\frac{1}{x})},$$ we will deduce the nature of $x+\cos\frac1x$ near $0$.
Hay disminución de la secuencia monótona $a_n>0$ con $\lim_{n\to\infty}a_n=0$ tal que $\cos\frac 1{a_n}=(-1)^n$.
Deje $a_n\ll 1$, tenemos $a_{n+1}+\cos \frac 1{a_{n+1}}$ tiene un signo distinto de $a_{n}+\cos \frac 1{a_{n}}$. Desde $(x+\cos\frac{1}{x})$ es continuo, no hay un punto cero entre $a_{n+1}$ e $a_n$.
Por lo tanto, hay infinitos puntos indefinidos cerca de $0$. Por lo tanto, el límite no existe.
Aviso de que esta respuesta sólo está disponible con la definición de $\lim_{x\to x_0}f(x)=A\Leftrightarrow\forall \varepsilon>0\exists\delta>0\ s.t.\ 0<|x-x_0|<\delta\implies|f(x)-A|<\varepsilon$

Answer 2

Este es un problema difícil. La primera cuestión que como se ha señalado en otras respuestas es que el denominador se desvanece en cada eliminados barrio de $0$ , de modo que en cada eliminados barrio de $0$ hay puntos donde la función no está definida. La definición habitual de límite requiere que la función se define en algunos eliminado barrio de el punto bajo consideración y, por tanto, según esta definición el límite no existe. De hecho, uno debe decir que no tiene sentido hablar de el límite de esta función en base a esta definición como los requisitos de la definición no se cumplen.

Sin embargo, hay un ambiente relajado definición de límite que considera solamente los puntos del dominio de definición de la función:

Deje $D $ ser un no-vacío es subconjunto de a$\mathbb {R} $ y deje $a\in\mathbb{R} $ ser un punto de acumulación de a$D$. Deje $f:D\to \mathbb{R}$ ser una función. Un número $L$ se dice que el límite de $f$ a $a$ si por cualquier $\epsilon >0$ existe un correspondiente $\delta >0$ tal que $|f(x) - L|<\epsilon $ siempre $x\in(a-\delta, a+\delta) \cap D, x\neq a$.

El límite en cuestión no existe, incluso bajo esta relajado definición de límite, pero es difícil mostrar que.

Deje $g(x) =x^4-x$ y tenga en cuenta que $g(x) <0$ si $0<x<1$ e $g(x) \to 0$ como $x\to 0^{+}$. Más como $x\to 0^{+}$ la función de $\cos(1/x)$ oscila entre los $1$ e $-1$ y, por tanto, por el teorema del valor intermedio $\cos(1/x)=g(x)$ o $x+\cos (1/x)=x^4$ infinitamente muchos de los valores de $x$ como $x\to 0^{+}$.

La función dada en cuestión puede ser escrito como $$3\cdot\frac {x-\sin x} {x+\cos (1/x)}$$ and the numerator behaves like $x^3/2$ as $x\a 0^{+}$. As discussed in previous paragraph there is a sequence of positive values of $x$ tending to $0$ for which denominator is equal to $x^4$ and thus if $x\a 0^{+}$ through such a sequence of values then the given function tends to $\infty$. On the other hand using similar strategy we can find a sequence of positive values of $x$ such that denominator equals $x^3$ so that the fraction tends to $1/2$. Thus the given function oscillates infinitely as $x\to 0^{+}$ y el límite no existe.

La técnica utilizada anteriormente se puede aplicar a demostrar que, dado cualquier número $L$ hay una secuencia $x_n$ tal que $x_n\to 0$ e $f(x_n) \to L$ como $n\to\infty $. Uno puede tener una $L=\pm\infty$. Los casos de $L=1/2,L=\infty$ fueron discutidos anteriormente.

Answer 3

Como notó el límite no existe, de hecho, se puede considerar que la secuencia como $x_n \to 0$ tales que

$$\cos\frac{1}{x_n}=2x_n \implies \frac{3x^2-3x\sin x}{x^2+x\cos\frac{1}{x}}=\frac{3x_n^2-3x_n\sin x_n}{3x_n^2}=1-\frac{\sin x_n}{x_n} \to 1-1=0$$

y la secuencia de $x_n \to 0$ tales que

$$\cos\frac{1}{x_n}=-x_n+x_n^3 \implies \frac{3x^2-3x\sin x}{x^2+x\cos\frac{1}{x}}=3\frac{x_n^2-x_n\sin x_n}{x_n^4}=3\frac{x_n-\sin x_n}{x_n^3}\to \frac12$$

en efecto, como lo $t \to 0$ tenemos que $\frac{t-\sin t}{t^3} \to \frac16$ que puede ser demostrado por l'Hôpital, Taylor o por el método que se muestra aquí: Son todos los límites solucionable sin la Regla de L'Hôpital o Expansión de la Serie.

Para el tema ya se ha discutido aquí en detalle por Paramanand Singh acerca de la no forma satisfactoria para demostrar que el límite no existe porque no se define en "infinitamente muchos puntos", un debate útil referirse también a los relacionados con

• ¿Qué es $\lim_{x \to 0}\frac{\sin(\frac 1x)}{\sin (\frac 1 x)}$ ? ¿Existe?

Answer 4

Para cualquier <span class="math-container">$\delta > 0$</span> existe un <span class="math-container">$0<x> tal que <span class="math-container">$x - \cos \frac {1}{x} = 0$</span></x></span>

<span class="math-container">$x-\cos \frac 1x$</span> Es continua, son los puntos cerca de estos ceros tal que <span class="math-container">$ x-\cos \frac 1x $</span> está arbitrariamente cerca de cero, y <span class="math-container">$\frac {3x^2 - 3x\sin x}{x(x-\cos \frac 1x)}$</span> es arbitrariamente grande.