Me gustaría calcular $\lim_{x\to c} \tfrac{x}{({1+x})}$ donde $c$ es una constante no igual a $-1$ .
Empecé de la siguiente manera: $$\left| \frac{x}{1+x} - \frac{c}{1+c} \right| = \left| \frac{x-c}{(1+c)(1+x)}\right|$$ Sé que la parte superior se puede hacer más pequeña que $\delta$ pero no estoy seguro de qué hacer con la parte inferior debido al +1 y al hecho de que no sabemos si alguno de esos términos es positivo o negativo. Cualquier sugerencia será muy apreciada.
En última instancia, usted quiere $$ \left| \frac{x}{1+x} - \frac{c}{1+c}\right| = \left|\frac{x-c}{(1+x)(1+c)}\right| $$ ser pequeño.
Desde $c \not= -1$ podemos elegir un intervalo centrado en $c$ que no contenga $-1$ . Sea $r = \frac{|c+1|}{2}$ . Entonces $-1 \notin (c-r,c+r)$ y si $x \in (c-r,c+r)$ la desigualdad del triángulo invertido nos da $$|x + 1| \ge |c+1| - |x - c| = \frac{|c+1|}{2} = r.$$
Esto conduce a $$\left| \frac{x-c}{(1+x)(1+c)} \right| = \frac{|x-c|}{|1+x| \cdot |1+c|}\le \frac{|x-c|}{\frac r2 \cdot r} = \frac{2}{r^2} |x-c|.$$
Ahora trabaja en tus épsilones y deltas.
Sea $\delta > 0$ . Entonces, para $ c \in \mathbb R \setminus \{-1\}$ es : $|x-c|<\delta$ . Ahora, es :
$$\bigg|\frac{x}{1+x} - \frac{c}{1+c}\bigg| = \bigg|\frac{x-c}{(1+x)(1+c)}\bigg| < \frac{\delta}{|(1+x)(1+c)|} = \frac{\delta}{|1+x|\cdot|1+c|}$$
Ahora, observa que a partir de la desigualdad del triángulo invertido, puedes hacer ese denominador más pequeño y así obtener una expresión mayor, por :
$$1+x = x-c+1+c \Rightarrow |1+x| = |(x-c) - (-1-c)| \geq | |x-c| - |1+c|| =|-|1+c||$$
Así, obtenemos :
$$\bigg|\frac{x}{1+x} - \frac{c}{1+c}\bigg| = \bigg|\frac{x-c}{(1+x)(1+c)}\bigg| < \frac{\delta}{|(1+x)(1+c)|}\leq \frac{\delta}{|\delta-|1+c||\cdot|1+c|} \equiv \varepsilon$$
Resumiendo, $\forall \varepsilon>0 \; \exists \delta >0 : |x-c|<\delta \implies \bigg|\frac{x}{1+x} - \frac{c}{1+c}\bigg| < \varepsilon$ por lo que el límite existe.
No entiendo muy bien por qué sigue el último paso. Dada la $\delta$ en el numerador y el denominador, ¿cómo podemos garantizar que la expresión será más pequeña que $\epsilon$ ?
@mmmmo Mira el paso anterior. Acabamos de dejar $\varepsilon$ sea la expresión entera que era mayor que el valor absoluto con el que queremos trabajar.
Sí, creo que ahora lo entiendo, sólo necesitaba convencerme de que la expresión podía hacerse tan pequeña como se quisiera, he jugado con ella y ahora veo por qué. Gracias
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1+c es fijo, mientras que 1+x puede aproximarse por 1+c. Fije el $\epsilon,\ \delta$ negocio en consecuencia.
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He intentado limpiar un poco tu pregunta. Tenga en cuenta el uso de
$$para mostrar expresiones, y el uso de\fracpara hacer fracciones. Si no le gustan las ediciones, por favor, siéntase libre de deshacerlas.