Ángulos en un triángulo esférico.

Question

¡Sólo busco consejo aquí! Tengo 3 coordenadas;

$A(-0.52992,0.84805,0),\\ B(0.84805,0,0.52992),\\C(0.15461,0.47553,0.86603)$ .

Quiero encontrar los ángulos en $A$ , $B$ y $C$ . Por lo tanto, encuentro la normal de los planos a través del gran círculo $AB$ , $AC$ , $BC$ respectivamente.

Puedo encontrar fácilmente que las normales (unitarias) son

$n_{AB}:(0.50306,0.31434,-0.80506)\\n_{BC}:(-0.31209,-0.80818,0.49945)\\n_{AC}:(0.77558,0.48464,-0.40448)$

¿Es el ángulo en $A$ sólo $cos^{-1}(n_{AB}.n_{AC})$ , ángulo en $B$ es $cos^{-1}(n_{AB}.n_{BC})$ El ángulo en C es $cos^{-1}(n_{AC}.n_{BC})$ ?

Lo que me preocupa es que $n_{AB}.n_{BC}=-0.81313$ y por lo tanto $arccos(-0.81313)=2.5203$ . Esta es la misma situación para el ángulo $C$ . ¿Sigo estando en lo cierto teniendo en cuenta que los ángulos $B$ y $C$ son más que $\pi$ ? ¿Puede un ángulo ser más que $\pi$ ? ¿O hay alguna forma de reducir el ángulo?

Edición: Puedo intentar visualizar los puntos de la esfera, parece que el ángulo $C$ es más que $\frac{\pi}{2}$ , pero el ángulo $B$ parece ser menor que $\frac{\pi}{2}$ ¿todavía tengo razón al decir que el ángulo $B$ es $2.52$ ¿Rad?

Answer 1

Dos cosas:

1. $2.5$ no es mayor que $\pi=3.1415\dots$ .
2. Lo que has calculado son ángulos euclidianos, no esféricos. Es decir, son ángulos entre las líneas $AB$ , $AC$ y así sucesivamente. Los ángulos esféricos serían el ángulo entre los grandes círculos que pasan $A,C$ y $A,B$ respectivamente.

Answer 2

Tenga en cuenta que si $n_{AB}$ es un vector unitario perpendicular a la gran circunferencia que pasa por $A$ y $B,$ entonces también lo es $-n_{AB}.$ Para cada lado del triángulo esférico hay dos vectores unitarios perpendiculares a ese lado, cada uno de ellos exactamente opuesto al otro.

Cuando inviertes la dirección de uno de los vectores en un producto punto, inviertes el signo del producto, y el coseno del arco que habrías obtenido se sustituye por su suplemento. Si al calcular los ángulos se obtiene sólo uno de los vectores unitarios "al revés", se calculará el ángulo exterior en el vértice cuyo ángulo interior se quería.

Una forma de evitar este error es asegurarse de tomar cada par de vectores en sus productos cruzados en la misma "dirección" alrededor del triángulo. Por ejemplo, puedes tomar $A\times B,$ $B\times C,$ y $C\times A.$ También puedes invertir los tres productos cruzados. Si utilizas un método diferente para encontrar los vectores normales unitarios, asegúrate de que el producto punto de cada normal con el vector del vértice restante es positivo en los tres casos, o asegúrate de que los tres productos punto son negativos. Sin embargo, esto tiene un giro: cuando se establecen las normales de esta manera, se obtienen normales que van en direcciones casi opuestas cuando el ángulo del vértice es muy pequeño, pero van en casi la misma dirección cuando el ángulo del vértice es muy grande. Por lo tanto, simplemente tomando el coseno del arco de un producto punto, $\arccos(n_1\cdot n_2).$ te dará el ángulo exterior, así que en realidad quieres $\arccos(-n_1\cdot n_2)$ para obtener el ángulo interior.

Otra forma que funciona (como has apuntado en un comentario) es utilizar productos cruzados para encontrar las normales, pero asegurándote de que el vértice en el que quieres encontrar el ángulo es el primer vector en ambos productos cruzados o el segundo vector en ambos productos cruzados. De esta forma las normales apuntarán casi en la misma dirección cuando el ángulo sea pequeño y serán casi opuestas cuando el ángulo sea grande, y podrás tomar $\arccos(n_1\cdot n_2)$ sin requerir un signo negativo. Utilizando este método, se necesitan al menos cuatro productos cruzados, pero como $B\times A = -A\times B$ este método no requiere realmente ningún cálculo extra, sólo invertir el vector cuando se necesita el otro producto cruzado.

Una cosa que debe no hacer es tener dos normales que sigan una regla y la tercera que siga la regla contraria. Esto hará que se computen ángulos exteriores en dos vértices. Parece que tu $n_{AC}$ es el "camino equivocado" en comparación con sus otros dos vectores normales.

El mero hecho de tener varios ángulos obtusos en un triángulo esférico no indica que se hayan calculado mal los ángulos. La suma de los ángulos de un triángulo esférico puede ser cualquier cosa hasta $540$ grados.

Answer 3

Tenga en cuenta que $$n_{AB}=-n_{BA}=\frac{A\times B}{|A|\,|B|}\\ n_{BC}=-n_{CB}=\frac{B\times C}{|B|\,|C|}\\ n_{CA}=-n_{AC}=\frac{C\times A}{|C|\,|A|}$$ Por lo tanto, $$\angle A=\arccos(n_{BA}\cdot n_{CA})=0.51928\\ \angle B=\arccos(n_{AB}\cdot n_{CB})=0.62125\\ \angle C=\arccos(n_{AC}\cdot n_{BC})=2.56032$$ y por Teorema de Girard el área del triángulo es $$\angle A+\angle B+\angle C-\pi=0.55926$$ donde el área de toda la esfera es $4\pi$ esteradianos .

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El ángulo que tienes para $\angle B$ es el suplemento de lo calculado anteriormente, porque tienes el signo equivocado para el producto punto. Es decir, $$\cos(\angle B)=n_{AB}\cdot n_{CB}=n_{BA}\cdot n_{BC}=-n_{AB}\cdot n_{BC}=-n_{BA}\cdot n_{CB}$$

Answer 4

Pensé que una imagen te ayudaría - ¿visualizar?