Integral sobre la hiperesfera

Question

Supongamos que tengo un diagonal matriz $L$ de tamaño $n$ . Quiero calcular la siguiente integral: $$I_n(L) \equiv \int_{(\mathbb{S}^{n-1})^2} \mathrm{d}\sigma(x) \mathrm{d}\sigma(x') \exp[n x^\top L \, x']$$ En el que $\mathbb{S}^{n-1}$ es la esfera unitaria en $\mathbb{R}^n$ y $ \mathrm{d}\sigma$ es la medida habitual en $\mathbb{S}^{n-1}$ con $\int_{\mathbb{S}^{n-1}} \mathrm{d}\sigma(x) = 2 \pi^{n/2}/\Gamma(n/2)$ . Estoy buscando una forma general de $I_n(L)$ o simplemente una asintótica de $\frac{1}{n}\log I_n(L)$ como $n \to \infty$ .

Lo he intentado pero no he podido encontrar esos resultados. Se agradecería cualquier ayuda. Gracias.

Answer 1

Hay una forma de obtener una serie infinita utilizando la expansión de $\exp$ Sin embargo, puede ser más eficiente calcular el resultado utilizando la cuadratura. Los pasos que se indican a continuación expanden primero $\exp$ y utilizar el teorema del multinomio para obtener una expansión polinómica para el integrando. Tomando la integral dentro de la suma a los monomios podemos evaluar la integral directamente para obtener una expresión analítica (forma cerrada) para la integral.

Para mayor claridad, denotemos primero la integral por $I$ es decir \begin{align} I := \int_{S_n}\int_{S_n}\exp(n \textbf{x}^T L \textbf{y}) d\sigma_n d\sigma_n \end{align}

Series de potencia para exp

Si primero consideramos la expansión del argumento de la función en la integral, \begin{align} \exp(n \textbf{x}^T L \textbf{y}) =& \sum_{k=0}^\infty \frac{(n\textbf{x}^T L \textbf{y})^k}{k!} \\ =& \sum_{k=0}^\infty \frac{\left(n \sum_{r=1}^M x_r L_{rr}y_r \right)^k}{k!} \tag{1} \end{align}

Es bien sabido que la serie converge uniformemente, y la integral esférica es lineal (véase [1]), lo que significa que podemos tomar las integrales dentro del sumatorio,

\begin{align} I = \sum_{k=0}^\infty \frac{n^k}{k!} \int_{S_n}\int_{S_n}\left( \sum_{r=1}^M x_r L_{rr}y_r \right)^kd\sigma_n d\sigma_n \tag{2} \end{align}

Uso del teorema multinomial

Utilizando el teorema del multinomio en el paréntesis interior da, \begin{align} \left( \sum_{r=1}^M x_r L_{rr}y_r \right)^k =& \sum_{j_{1} + \ldots + j_{M} = k} \frac{k!}{j_{1}!\ldots j_{M}!} \prod_{t=1}^M (L_{tt} y_t x_t)^{j_t} \tag{3} \end{align}

Podemos entonces poner (3) en (2) y distribuir las integrales más allá de la adición para dar,

\begin{align} I = \sum_{k=0}^\infty \frac{n^k}{k!}\sum_{j_{1} + \ldots + j_{M} = k} \rho_k \int_{S_n}\int_{S_n} \prod_{t=1}^M (L_{tt} y_t x_t)^{j_{t}}d\sigma_n d\sigma_n \tag{4} \end{align} donde $\rho_k = \frac{k!}{j_{1}!\ldots j_{M}!} $ .

Integrar un monomio

La integral esférica de un monomio se discute en detalle en [2], pero el resultado principal da, \begin{align} \int_{S_n}\int_{S_n} \prod_{t=1}^M (L_{tt} y_t x_t)^{j_{t}}d\sigma_n d\sigma_n = \left\{ \begin{array}{rl} \left( 2\frac{\prod_{t=1}^M\Gamma(q_{t})}{\Gamma(\sum_{t=1}^M q_t)} \right)^2 \prod_{t=1}^M L_{tt}^{j_{t}} & : j_{t} \mbox{ all even} \\ 0& : \mbox{otherwise} \end{array} \right .\N-tag{5} \N - fin {align}

Donde $q_{t} = \frac{1}{2} (j_{t} + 1)$ . Si se introduce (5) en (4) se obtiene, \begin{align} I =& 4 \sum_{k=0}^\infty \frac{n^k}{k!}\sum_{j_{1} + \ldots + j_{M} = k \\ \forall t \mod(j_{t},2) = 0 } \rho_k \left(\frac{\prod_{t=1}^M\Gamma(q_{t})}{\Gamma(\sum_{t=1}^M q_{t})} \right)^2 \prod_{t=1}^M L_{tt}^{j_{t}} \tag{6} \end{align}

Simplificación

Dado que los términos son distintos de cero sólo cuando todos los $j_t$ y por lo tanto $k$ son pares; después de algunas cancelaciones, la suma se puede escribir, \begin{align} I =& 4 \sum_{k=0}^\infty \sum_{j_{1} + \ldots + j_{M} = k} \frac{n^{2k}}{\prod_{t=1}^M (2j_{t})!}\left(\frac{\prod_{t=1}^M\Gamma(j_{t} + \frac{1}{2})}{\Gamma(\frac{M}{2} + \sum_{t=1}^M j_{t})} \right)^2 \prod_{t=1}^M L_{tt}^{2j_{t}} \\ =& 4 \sum_{k=0}^\infty \frac{n^{2k}}{\Gamma(\frac{M}{2} + k)^2} \sum_{j_{1} + \ldots + j_{M} = k}\prod_{t=1}^M \frac{\left(\Gamma(j_{t} + \frac{1}{2}) L_{tt}^{j_{t}}\right)^2}{ (2j_{t})!}\tag{7} \end{align}

[1] Baker, John A. , Integración sobre esferas y teorema de divergencia para bolas , Am. Math. Mon. 104, No. 1, 36-47 (1997). ZBL0877.26008 .

[2] Folland, Gerald B. , Cómo integrar un polinomio sobre una esfera , Am. Math. Mon. 108, nº 5, 446-448 (2001). ZBL1046.26503 .