Una pregunta de Neukirch sobre el módulo de cociente de una suma de módulos

Question

El programa de Instalación: Vamos a $L/K$ ser un separables de extensión con los anillos de enteros $\mathcal{O}_{L}$ e $\mathcal{O}_{K}$ respectivamente. Deje $\mathfrak{p}$ ser un primer ideal de $\mathcal{O}_{K}$ e $\mathfrak{p}\mathcal{O}_{L}$ ser $\mathfrak{p}$ movido el piso de arriba en $\mathcal{O}_{L}$. Deje $\omega_{1},\ldots,\omega_{n}$ ser representantes de una base para la $\mathcal{O}_{L}/\mathfrak{p}\mathcal{O}_{L}$ sobre $\mathcal{O}_{K}/\mathfrak{p}$.

El problema: En la prueba de la proposición 8.2 de Neukirch de la Teoría Algebraica de números que él comienza a probar la $\omega_{i}$ son linealmente independientes, mediante la definición de $M = \mathcal{O}_{K}\omega_{1}+\cdots+\mathcal{O}_{K}\omega_{n}$ e $N = \mathcal{O}_{L}/M$. Él entonces dice $\mathcal{O}_{L} = M+\mathfrak{p}\mathcal{O}_{L}$ implica $\mathfrak{p}\mathcal{O}_{L}N = N$. Entiendo que la primera igualdad,pero estoy teniendo problemas para justificar la segunda.

Mi intento: veo cómo en $(M+\mathfrak{p}\mathcal{O}_{L})/M$ nos mod de la $M$ bits. Más formalmente, $(M+\mathfrak{p}\mathcal{O}_{L})/M = \{p+M \mid p \in \mathfrak{p}\mathcal{O}_{L}\}$. Así, deberíamos esperar encontrar este conjunto, equivalente a algo así como el $\mathfrak{p}\mathcal{O}_{L}N$. El principal problema es que no entiendo lo $\mathfrak{p}\mathcal{O}_{L}N$ es formalmente. $\mathfrak{p}\mathcal{O}_{L}$ e $N$ son claramente $\mathcal{O}_{K}$ módulos, pero no tenemos la rigurosa estructura de multiplicar sus elementos, ya que ni es un subconjunto de la otra. Si estamos implícitamente la definición de la multiplicación para ser $p(r+M) = pr+pM$ para algunos $r+M \in N$ e $p \in \mathfrak{p}\mathcal{O}_{L}$ , a continuación, todavía estoy confundido porque $pM$ no es necesariamente $M$ incluso bajo el supuesto de $\mathcal{O}_{L} = M+\mathfrak{p}\mathcal{O}_{L}$. Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Su pregunta puede ser tratada en un contexto general:

• deje $A \subset B$ ser una extensión de anillos conmutativos (que se puede pensar como $O_K \subset O_L$),

• deje $I \subset A$ ser un ideal y $M$ ser $A$-submódulo de $B$ tal que $B = M + IB$.

Definir el $A$-módulo de $N = B / M$. El reclamo es que $$IN=N,$$ donde $IN$ es el $A$-submódulo de $N$ generado por los elementos de a$x \cdot n$ donde $x \in I$ e $n \in N$.

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Claramente, tenemos $IN \subset N$. Por el contrario, vamos a $n \in N = B/M$ ser la clase de algunos $b \in B$. Por supuesto, tenemos $B = M+IB$, por lo que podemos escribir $$b = m + \sum_{j=1}^k i_j b_j$$ for some $m \in M, i_j \in I, b_j \B$ and $k \geq 1$.

Desde $n = [b]_M = b+M \in B/M$ es la clase de $b$, se obtiene también que $n$ es la clase de $\sum_{j=1}^k i_j b_j \in IB$, de ahí la igualdad $$n = \sum_{j=1}^k i_j [b_j]_M,$$ que se encuentra en el módulo de $IN$, debido a $[b_j]_M \in B/M=N$ e $i_j \in I$ por cada $j$. Por lo tanto, hemos mostrado $N \subseteq IN$, y por lo tanto $N = IN$ como se reivindica.

Elemental, ¿no? ;-) $\hspace{9cm}\blacksquare$