Tiene mi conjetura usando Pell ' s ecuación sido descubierto antes

Question

Tenemos <span class="math-container">$$\sqrt{d} = \frac{x}{y} - \frac{1}{f_0\cdot y} - \frac{1}{f_0\cdot f_1\cdot y}- \ldots - \frac{1}{f_0\cdot f_1\cdot\ldots\cdot f_n\cdot y}-\ldots\,,$ $</span> donde <span class="math-container">$ de $$f0 = 2x\,,$</span> <span class="math-container">$$f{n+1} = (f_n)^2 - 2\text{ for }n=0,1,2,\ldots,$ $</span> y <span class="math-container">$x$</span> y <span class="math-container">$y$</span> son soluciones no triviales para la ecuación de Pell <span class="math-container">$x^2 - d\cdot y^2 = 1$</span>.

Por ejemplo:

<span class="math-container">$$\sqrt{5} = 9/4 - 1/72 - 1/23184 - 1/2043763488 -\ldots\,.$$</span>

Answer 1

No sé si se ha publicado en algún lugar, pero en mi opinión tiene poco que ver con la ecuación de Pell.

De $x^2-d y^2=1$ deducir $d=\left(\frac xy\right)^2-\frac1{y^2}=\left(\frac xy\right)^2\left(1-\frac1{x^2}\right)$, por lo tanto $\sqrt d = \frac xy \sqrt{1-\frac1{x^2}}$. Su identidad puede ser escrito como $$ \sqrt{d} = \frac xy \left(1-\frac1{f_0x}-\frac1{f_1f_0x}-\frac1{f_2f_1f_0x}-\dots\right), $$ por lo tanto, es básicamente indica que $$ \sqrt{1-\frac1{x^2}} = 1-\frac1{f_0x}-\frac1{f_1f_0x}-\frac1{f_2f_1f_0x}-\dots $$

Esto es sólo un asintótica de expansión de la raíz cuadrada, y está completamente desacoplado de la original de la ecuación de Pell.