Prueba

Question

Probar la identidad $$8\cos^4 \theta -4\cos^3 \theta-8\cos^2 \theta+3\cos \theta +1=\cos4\theta-\cos3\theta$$

Si $7\theta $ es un múltiplo de a$2\pi,$ Muestran que $\cos4\theta=\cos3\theta$ , y deducir, $$\cos\frac{2\pi}{7}+\cos\frac{4\pi}{7}+\cos\frac{6\pi}{7}=-\frac{1}{2}$$

Mi Trabajo

Tuve la oportunidad de probar la identidad usando la mitad del ángulo de la fórmula e $\cos3\theta $expansión. Desde

$$7\theta=2n\pi$$ $$4\theta=2n\pi-3\theta$$

$$\therefore \cos4\theta=\cos3\theta$$

No puedo probar la parte final.

Por favor me ayude. Gracias de antemano.

Answer 1

$\cos\frac{0\pi}{7}, \cos\frac{2\pi}{7}, \cos\frac{4\pi}{7}, \cos\frac{6\pi}{7}$ son distintas raíces de la cuarta orden de polinomio $$P(x)=8x^4-4x^3-8x^2+3x+1$$

Por lo $P(x)$ puede ser re-escrito $$P(x)=8\left(x-\cos\frac{0\pi}{7}\right)\left(x-\cos\frac{2\pi}{7}\right)\left(x-\cos\frac{4\pi}{7}\right)\left(x-\cos\frac{6\pi}{7}\right)$$

Por lo tanto, mirando a $x^3$ coeficiente de da $$\cos\frac{0\pi}{7}+\cos\frac{2\pi}{7}+\cos\frac{4\pi}{7}+\cos\frac{6\pi}{7}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$$

En realidad, para cualquier $n>=2$, $$P_n(x)=T_n(x)-T_{n-1}(x)=2^{n-1}x^n-2^{n-2}x^{n-1}+...$$ Donde $T_n$ es el n-ésimo polinomio de Chebyshev.

Así $$P_n(cos(x))=cos(nx)-cos((n-1)x)$$And Likewise, $$\sum_{k=0}^{n-1} cos\frac{2k\pi}{2n-1} = \frac{1}{2}$$

Answer 2

<span class="math-container">$$\begin{align} &1+\color{#C00}{2\cos\left(\frac{2\pi}7\right)}+\color{#090}{2\cos\left(\frac{4\pi}7\right)}+\color{#00F}{2\cos\left(\frac{6\pi}7\right)}\ &=1+\color{#C00}{\cos\left(\frac{2\pi}7\right)}+\color{#090}{\cos\left(\frac{4\pi}7\right)}+\color{#00F}{\cos\left(\frac{6\pi}7\right)}+\color{#00F}{\cos\left(\frac{8\pi}7\right)}+\color{#090}{\cos\left(\frac{10\pi}7\right)}+\color{#C00}{\cos\left(\frac{12\pi}7\right)}\ &=\operatorname{Re}\left(1+e^{2\pi i/7}+e^{4\pi i/7}+e^{6\pi i/7}+e^{8\pi i/7}+e^{10\pi i/7}+e^{12\pi i/7}\right)\ &=\operatorname{Re}\left(\frac{e^{14\pi i/7}-1}{e^{2\pi i/7}-1}\right)\ &=0 \end {Alinee el} $</span> Por lo tanto, <span class="math-container">$$ \cos\left(\frac{2\pi}7\right) + \cos\left (\frac {4\pi} 7\right) + \cos\left(\frac{6\pi}7\right)=-\frac12 $$</span>

Answer 3

Aquí está una manera de hacerlo. No utilice su anterior trabajo, aunque.

$\cos\frac{2\pi}{7}+\cos\frac{4\pi}{7}+\cos\frac{6\pi}{7}\\ \frac {\sin\frac \pi7(\cos\frac{2\pi}{7}+\cos\frac{4\pi}{7}+\cos\frac{6\pi}{7})}{\pecado \frac \pi7}\\ \frac {\sin\frac \pi7\cos\frac{2\pi}{7}+\sin\frac \pi7\cos\frac{4\pi}{7}+\sin\frac \pi7\cos\frac{6\pi}{7})}{\pecado \frac \pi7}\\ \sin\cos B = \frac12 \sin(a+B) - \frac12\sin(B-A)\\ \frac {\sin\frac {3\pi}7 - \sin \frac {\pi}{7}+\sin\frac {5\pi}7 - \sin\frac{3\pi}{7} +\sin\frac {7\pi}7 - \sin\frac {5\pi}{7}}{2\pecado \frac \pi7}\\ \frac {\sin \pi \sin \frac {\pi}{7}}{2\pecado \frac \pi7} = -\frac 12\\ $

Utilizando la información de la parte 1.

Deje $x = \cos \theta$

si $\theta = \frac{2n\pi}{7}$

$8x^4-4x^3 -8x^2+3x+1 = 0$

y $1, \cos \frac{2\pi}{7}, \cos \frac{4\pi}{7}, \cos \frac{6\pi}{7}$ son raíces del polinomio.

$8(x - 1)(x - \cos{2\pi}{7})(x - \cos{4\pi}{7})(x - \cos{6\pi}{7}) = 8x^4-4x^3 -8x^2+3x+1$

Por Viteta reglas

$8(1+\cos{2\pi}{7}+\cos{4\pi}{7}+\cos{6\pi}{7}) = 4\\ 1+\cos{2\pi}{7}+\cos{4\pi}{7}+\cos{6\pi}{7} = \frac 12\\ \cos{2\pi}{7}+\cos{4\pi}{7}+\cos{6\pi}{7} = -\frac 12$

Answer 4

Ya han obtenido suficiente información sobre la ruta que seguir para resolver el problema, le estoy dando una solución diferente. Es un bosquejo.

Que <span class="math-container">$\omega:=\exp\left(\dfrac{2\pi\text{i}}{7}\right)$</span>. Mostrar que <span class="math-container">$\omega^6+\omega^5+\omega^4+\omega^3+\omega^2+\omega+1=0$</span>. Esto implica <span class="math-container">$$\begin{align}\cos\left(\frac{2\pi}{7}\right)+\cos\left(\frac{4\pi}{7}\right)+\cos\left(\frac{6\pi}{7}\right)&=\frac{\omega+\omega^{-1}}{2}+\frac{\omega^2+\omega^{-2}}{2}+\frac{\omega^{3}+\omega^{-3}}{2}\&=\frac{(\omega^6+\omega^5+\omega^4+\omega^3+\omega^2+\omega+1)-\omega^3}{2\omega^3}=-\frac12\,.\end{align}$ $</span>