¿Para qué espacios tiene cada cubierta Borel contable una sub-cubierta finita?

Question

Un espacio topológico <span class="math-container">$X$</span> es numerable compacto si cada cubierta abierta contable de <span class="math-container">$X$</span> tiene un subcover finito. Pero estoy interesado en una condición más fuerte. Suponga que cada cobertura contable de <span class="math-container">$X$</span> por conjuntos de Borel tiene un subcover finito. Entonces ¿qué propiedades debe X tener?

Y ¿cuáles son ejemplos de espacios que y que no tienen esta propiedad?

Answer 1

Esta es una extraordinaria fuerza de propiedad: es equivalente a $X$ tener sólo un número finito de abiertos conjuntos. De hecho, es fácil ver que si $X$ tiene un número finito de abrir sets, entonces tiene sólo un número finito de conjuntos de Borel, y así su condición tiene trivialmente.

Por el contrario, supongamos $X$ tiene infinidad de bloques abiertos. A continuación, en particular, $X$ tiene un número infinito de conjuntos de Borel. Que nos llame a un conjunto $A\subseteq X$ grande si $A$ es Borel y tiene infinidad de subconjuntos de Borel. Tenga en cuenta que si $A$ es grande y $A$ es distinto de la unión de dos conjuntos de Borel $B$ e $C$, entonces al menos uno de $B$ e $C$ es grande, ya que cada subconjunto de Borel $A$ es la unión de un subconjunto de Borel $B$ y un subconjunto de Borel $C$. De ello se sigue que cualquier gran conjunto tiene un gran subconjunto (recoger algunos no vacío adecuado subconjunto de Borel, y de que sea o su complemento debe ser grande).

Ahora podemos usar esto para construir una contables Borel cubierta de $X$ sin finito subcover. Comenzando con $A_0=X$, se puede elegir una gran subconjunto $A_1\subset A_0$, y luego un gran subconjunto $A_2\subset A_1$, y así sucesivamente. Los conjuntos de $A_0\setminus A_1, A_1\setminus A_2,\dots$ e $\bigcap_n A_n$ son todos Borel y cubierta de $X$, y no tienen finito subcover (que son distintos y todos, excepto posiblemente $\bigcap_n A_n$ son no vacíos).

(Esta construcción más general muestra que cualquier infinita álgebra de boole tiene una infinita secuencia de cero de a pares distintos elementos.)