¿Cómo soluciona una $\sin x-\sqrt{3}\ \cos x=1$?

Question

He pensado que este subiendo, pero no sé cómo solucionarlo. Aquí está mi intento: <span class="math-container">$$\sin x-\sqrt{3}\ \cos x=1$ $</span> <span class="math-container">$$(\sin x-\sqrt{3}\ \cos x)^2=1$ $</span> <span class="math-container">$$\sin^2x-2\sqrt{3}\sin x\cos x\ +3\cos^2x=1$ $</span> <span class="math-container">% $ $$1-2\sqrt{3}\sin x\cos x\ +2\cos^2x=1$</span> <span class="math-container">$ de $$2\cos^2x-2\sqrt{3}\sin x\cos x=0$</span> <span class="math-container">$$2\cos x(\cos x-\sqrt{3}\sin x)=0$ $</span> <span class="math-container">$2\cos x=0\Rightarrow x\in {\frac{\pi }2(2n-1):n\in\Bbb Z}$</span>

Pero cómo se resuelve <span class="math-container">$$\cos x-\sqrt{3}\sin x=0$ $</span>

Answer 1

Sugerencia: al principio divida ambos lados por <span class="math-container">$2$</span> y usar la fórmula para el pecado de la diferencia de 2 argumentos

Answer 2

Sugerencia:

<span class="math-container">$$\cos x - \sqrt{3}\sin x = 0 \Leftrightarrow \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\sqrt{3}}{3} \Leftrightarrow \tan x = \frac{\sqrt{3}}{3}$$</span>

Nota: Se puede dividir por <span class="math-container">$\cos x$</span>, ya que si el caso era <span class="math-container">$\cos x =0$</span>, que sería <span class="math-container">$\sin x = \pm 1$</span> y así la ecuación daría <span class="math-container">$\pm \sqrt{3} \neq 0$</span>, así no hay problemas en la solución final, como el <span class="math-container">$\cos$</span> ceros no son parte de ella.

Answer 3

Multiplicar por el conjugado: <span class="math-container">$(\cos(x) - \sqrt{3} \sin(x))(\cos(x) + \sqrt{3} \sin(x)) = 0$</span>. Entonces tenemos <span class="math-container">$\cos^2(x)-3\sin^2(x)=0$</span>. Esto es lo mismo como <span class="math-container">$1-4\sin^2(x)=0$</span> <span class="math-container">$\sin(x)=\pm \frac{1}{2}$</span>.

• Nota de PRECAUCIÓN: Esto le da las respuestas a la pregunta y su conjugado. Tienes que enchufar y comprobar cuáles son las respuestas que estás buscando.

Answer 4

Evitar el cuadrado siempre que sea posible, ya que introduce inmediatamente extraños raíz(s).

$$\sin x-\sqrt3\cos x=1$$

Método de$\#1:$

El Uso De Fórmulas Prosthaphaeresis

Método de$\#2:$

El uso de la Solución de ecuaciones trigonométricas de la forma $a\sin x + b\cos x = c$

Método de$\#3:$

El uso de Doble Ángulo de fórmula,

$\cos x=\cos^2\dfrac x2-\sin^2\dfrac x2$

y $1-\sin x=\left(\cos\dfrac x2-\sin\dfrac x2\right)^2$

De inmediato nos ha $\cos\dfrac x2-\sin\dfrac x2$ como factor común

Answer 5

Usted puede dar vuelta la ecuación para un polinomio,

<span class="math-container">$$s-\sqrt3 c=1$ $</span> se reescribe

<span class="math-container">$$s^2=1-c^2=(1+\sqrt3c)^2,$$</span>

que los rendimientos

<span class="math-container">$$c=0\text{ or }c=-\frac{\sqrt3}2.$$</span>

Enchufar en la ecuación inicial,

<span class="math-container">$$c=0,s=1\text{ or }c=-\frac{\sqrt3}2,s=-\frac12.$$</span>

Recuperación de los ángulos es fácil.