Si una función $f(x,y)$ sería la salida de un valor en una tercera dimensión, $z=f(x,y)$ por ejemplo. ¿Cómo podemos tratar el gradiente de $f$ como una función en $x$ e $y$, cuando la salida de la gradiente es un vector en dos dimensiones en la $x$ e $y$ cuales son las dimensiones de las entradas. Supongo que mi pregunta es, ¿es normal que una función para asignar a las dimensiones de sus entradas?
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Sambo
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Una función de $F$ puede ser considerado como una máquina que toma en las entradas de un conjunto de decir $X$, y las salidas de los elementos de otro conjunto, decir $Y$. Una función devuelve un elemento único para cada entrada, y lo escribimos $F : X \rightarrow Y$.
En su caso, el gradiente de la $f$ es sólo una función $\nabla f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$, donde para cada entrada de $(x,y)$, se emite el elemento $\left( \frac{\partial f}{\partial x}(x,y), \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) \right)$.
WesleyGroupshaveFeelingsToo
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$(1)$ El gradiente es un vector de valores de la función, esta mapas de pares de números de $(x,y)$ a algún otro par de números de $(x',y')$. Estos pares de números que llamamos vectores y tienen una interpretación geométrica: tienen una longitud y una dirección. Específicamente el gradiente corresponde a la dirección y la magnitud de la subida más empinada.
Vea también:
https://en.wikipedia.org/wiki/Vector-valued_function
Esta Khan Academy enlace que he encontrado así es muy útil como pensó también en el mismo ejemplo de como lo hice: https://www.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/multivariable-derivatives/gradient-and-directional-derivatives/v/gradient-and-graphs
$(2)$ , Por el contrario, cuando se hace una gráfica de una función que se asigna a de $\mathbb{R^2} \rightarrow \mathbb{R}$ como $f(x,y)=x^2 +y^2$, cuando se desea representar este a menudo definen una tercera variable $z=f(x,y)$ y que el valor de esta variable será igual al valor de la función. Me han conspirado $x^2 +y^2$ de esta manera a continuación:
Sin la introducción de otro eje, podemos también darles diferente valor de la función de los rangos de un color diferente, por lo que un valor grande podría ser muy oscuro y un bajo valor podría ser muy claro o viceversa. Reconocemos la misma función:
La diferencia entre los $(1)$ e $(2)$ es la noción de dirección. La función que describe es un "campo escalar", sólo tenemos la noción de magnitud o "valor", pero no de dirección. Los gradientes le dará un llamado "vector de campo", como los físicos llaman a menudo, solemos visualizar esta usando VectorPlots. A continuación encontrará un método de este tipo, he representado el campo de vectores $f(x,y)=(x^2+y,y^2+x )$
que ha degradado $grad(f)(x,y)=(2x,2y)$
leftaroundabout
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El operador gradiente es de un orden superior función: asigna funciones a las funciones. En el caso de campos escalares reales espacios vectoriales, $$ \nabla :(\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}) \(\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n). $$ Por lo tanto, si $F:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$, a continuación, $\nabla F : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$, y si se evalúa que en algún momento, un único vector, como $\nabla F(x,y) : \mathbb{R}^2$. Específicamente, $$ \nabla F(x,y) = \begin{pmatrix}\frac{\partial F(x,y)}{\partial x} \\ \frac{\partial F(x,y)}{\partial y}\end{pmatrix}. $$ Ver también ¿Qué hace el símbolo de nabla indicar?
Si una función $f(x,y)$ sería la salida de un valor en una tercera dimensión, $z=f(x,y)$ por ejemplo.
En general, lo que es no cómo una función de varias variables obras. Si le sucede que tiene una función que toma dos números reales como entrada y produce un único número real como su salida, entonces usted puede gráco de la función en tres dimensiones a partir de dos dimensiones para la entrada y otro para la salida. Para considerar esto como la definición de una función, sin embargo, o incluso a considerarlo como un "típico" de la función, es un error.
... ¿es normal que una función para asignar a las dimensiones de sus entradas?
Sí, es "normal" en el sentido de que a menudo se encuentran perfectamente bien funciones con la propiedad. También hay muy buenas funciones que se asignan a menos dimensiones de su entrada, y perfectamente bien las funciones que se asignan a más dimensiones que la de su entrada.
Como un ejemplo de las "dimensiones" del caso, considerar la posición de una partícula en el espacio como una función del tiempo: uno de entrada de dimensiones, tres dimensiones.
R. Romero
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Los tensores juegan un papel importante aquí. Los ejemplos incluyen los habituales vectores en el espacio tridimensional. Las Matrices.
Un tensor en sentido general es una función que toma vectores o uno-formas y devuelve un número real. Además, el tensor es una función lineal de estos insumos. Como con cualquier otra función, usted puede tomar la derivada de un tensor.
Por ejemplo, supongamos que tenemos una matriz de rotación que gira en el punto en el plano xy alrededor del eje z. La matriz es un tensor. Es de entrada es un vector. Cambios lineales en la entrada de resultado en cambios lineales en la salida.
En el caso de una matriz de rotación, hay 2 entradas en efecto, cuánto, para rotar, y la posición inicial. Así que usted puede pensar en la posición final como un vector función de x,y y $\theta$, y se pueden considerar derivados con respecto a aquellos.
Considere la posibilidad de $f(x,y,z)=ax^2+by^2+cz^2=1$, $a=b=c=1$. ¿Qué $\nabla f$ ? Es esencialmente el doble de la posición del vector que apunta desde el origen hasta el punto. Cualquier desplazamiento infinitesimal de la tangente a la superficie será perpendicular a la pendiente.
$df=\nabla f \cdot d\vec{s}$
Si $|df|>0$, entonces usted está necesariamente dejando la superficie.
Como cambiar las $a,b,c$, se obtiene una superficie diferente y diferente gradiente. Siempre perpendicular a la superficie. Este es otro sentido en el que tiene sentido considerar un derivado de un gradiente.
