Dejemos que $C = \{ z \in \mathbb{C} : |z| = 1 \}$ y $D = \{ z \in \mathbb{C} : |z| < 1 \}$ sean el círculo unitario y el disco unitario abierto. Supondremos que $a \ne \pm 1$ ya que sus casos son triviales.
Su afirmación es cierta. Vamos a demostrar la siguiente generalización:
Para $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m \in D$ , defina $f(z) = \prod\limits_{k=1}^m(z - \alpha_k)$ y $g(z) = \prod\limits_{k=1}^m (1-\bar{\alpha}_k z)$ .
El polinomio $f(z) - g(z)$ tiene todas sus raíces pertenecen a $C$ .
Considere su relación $h(z) = \frac{f(z)}{g(z)}$ . Dado que todos los $|\alpha_k| < 1$ , $g(z)$ nunca es cero sobre $C$ y $h(z)$ está bien definida allí.
Para $z \in C$ tenemos $$|h(z)| = \prod\limits_{k=1}^m \left|\frac{z-\alpha_k}{1-\bar{\alpha}_k z}\right| = \prod\limits_{k=1}^m \left|\frac{z-\alpha_k}{(\bar{z} - \bar{\alpha}_k) z}\right| = 1$$ La relación $h(z)$ mapas $C$ a $C$ .
Para cada factor $\frac{z-\alpha_k}{1-\bar{\alpha}_k z}$ cuando $z$ mover a lo largo $C$ una vez, el factor se mueve a lo largo de $C$ también una vez. Esto implica que su producto $h(z)$ avanzar $C$ exactamente $m$ veces. Como resultado, podemos encontrar $m$ distintivo $\theta_1, \ldots, \theta_m \in [ 0, 2\pi )$ tal que $$h(e^{i\theta}) = 1 \iff f(e^{i\theta}) - g(e^{i\theta}) = 0$$ Polinomio $f(z) - g(z)$ tiene al menos $m$ raíces distintas sobre $C$ . Dado que el grado de $f(z) - g(z)$ es $m$ contando la multiplicidad, tiene exactamente $m$ raíces en $\mathbb{C}$ . Esto significa que por encima de $m$ raíces en $C$ son todas las raíces de $f(z) - g(z)$ y todas ellas son sencillas.
En el caso especial $m = n + 1$ y $(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m) = (a,0,\ldots,0)$ donde $a \in (-1,1)$ . Polinomio $f(z) - g(z)$ se reduce a
$$z^n(z - a) - (1-az) = z^{n+1} - a z^n + az - 1 = P(z)$$
y su declaración sigue.
En mi opinión, esta es una buena oportunidad para introducir el concepto de número de bobinado a los estudiantes. Si no están preparados para ello. Una prueba independiente para el enunciado original (de nuevo $a \ne \pm 1$ ) es así.
Cuando $a \in (-1,1)$ , parametrizar $C$ por $[0,2\pi) \ni \theta \mapsto z \in C$ . Tenemos
$$P(z) = z^{n+1} - az^n + az - 1 = 2ie^{i\frac{(n+1)\theta}{2}} \left[\sin\frac{(n+1)\theta}{2} - a\sin\frac{(n-1)\theta}{2}\right]$$ Llamemos a lo que está dentro del corchete como $I(\theta)$ .
Cuando $a$ es real, $I(\theta)$ es claramente real y $\theta = 0$ es una raíz de la misma.
Dejemos que $\theta_k = \frac{(2k+1)\pi}{n+1}$ para $k = 0,\ldots,n$ . Cuando $a \in (-1,1)$ es fácil de ver $I(\theta_k)$ es positivo para incluso $k$ y negativo para impar $k$ . Esto significa que $I(\theta)$ tiene $n$ más raíces. Una raíz de cada intervalo $(\theta_{k-1},\theta_k)$ para $k = 1,\ldots, n $ .
Como resultado, $I(\theta)$ tiene al menos $n+1$ raíces sobre $[0,2\pi)$ . Esto equivale a $P(z)$ tiene al menos $n+1$ raíces en $C$ . Una vez más, ya que $P(z)$ tiene grado $n+1$ , estas son todas las raíces que tiene.
