Efecto determinante de la matriz

Question

El determinante de la matriz $$A= \begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}$$ es $$\det A=4.$$ Entonces, ¿cuál es el determinante de \begin{bmatrix}3a&3b&3c\\-d&-e&-f\\g-a&h-b&i-c\end{bmatrix}

Encontré que las operaciones de fila que se realizaron fueron $3R1, -1.R2,$ y la última no importa.

Entonces, ¿es el determinante $3\times 4\times(-1)= -12$ o tenemos que hacer la inversa $4\times 1/3 \times 1/(-1)?$

Answer 1

Sí, eso es correcto, de hecho por las propiedades del determinante tenemos que

$$\det\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}=\det\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g-a&h-b&i-c\end{bmatrix}=\\=\frac13 \det\begin{bmatrix}3a&3b&3c\\d&e&f\\g-a&h-b&i-c\end{bmatrix}=-\frac13 \det\begin{bmatrix}3a&3b&3c\\-d&-e&-f\\g-a&h-b&i-c\end{bmatrix}$$

Answer 2

A veces no puedes decir si la matriz $B$ puede generarse a partir de la matriz $B$ o no. En tal caso, uno puede expandir cada determinante y comparar el resultado de cada uno. Sin embargo, ¡este enfoque requiere prestar atención a los signos!

Sea $X$ el determinante de la primera matriz y $Y$ el determinante de la segunda matriz, entonces tenemos:

$ X = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) $

$ X = aei - afh - bdi + bfg + cdh - ceg $

$ Y = 3afh - 3eai + 3ecg + 3bdi - 3bfg - 3cdh $

$ \frac{Y}{-3} = -afh + eai -ecg -bdi + bfg + cdh $

Puedes reorganizar los términos de cualquiera de las ecuaciones para ver que:

$X=\frac{Y}{-3}$

Dado que X=4,

$Y=-12$