Una teoría que parece tener prueba teórica ordinal $\omega_1^{CK}$

Question

Estoy tratando de entender la prueba de la teoría de los números ordinales, y erróneamente "demostrado" hay un sonido recursiva de la teoría de la aritmética con la prueba de la teoría ordinal $\omega_1^{CK}.$ Eso es imposible, entonces, ¿dónde esta mal?

"La prueba:" Revisión recursiva de pedidos $<_H$ a $\omega$ de la longitud de la $\omega_1^{CK}(1+\eta),$ $\eta$ el tipo de orden de los racionales, con cada vacía hyperarithmetic establecer tener un $<_H$-mínimo elemento. Deje $<_n$ ser el segmento inicial de $<_H$ por debajo de $n.$ Entonces $<_n$ es recursivo de pedidos. Llame a $n$ $\textit{good}$ si la teoría de la $S_n:=Z_2+``<_n$ está bien fundada$"$ es aritméticamente sonido.

El conjunto de buenas $n$ es hyperarithmetic y contiene el bien fundado de parte de $<_H,$ así que hay algo de $n^*$ que es buena y se encuentra en el mal fundado parte de $<_H.$ Entonces $T=$ PA $+``S_{n^*}$ es aritméticamente sonido$"$ es de sonido y recursiva. Observe que para cada $\alpha<\omega_1^{CK},$ hay $n$ tal que $<_n$ es isomorfo a $\alpha,$ e $T$ prueba $<_n$-inducción. Por lo $T$ es como se desee.

Answer 1

Después de haber leído este post de Dmytro (https://mathoverflow.net/a/278615/109573), creo que la respuesta aquí es que la prueba de la teoría de los números ordinales se definen mejor por $\Pi_1^1$-sonido teorías que interpretan un débil segundo orden de la aritmética (por ejemplo, ACA$_0$). Mientras que razonablemente se puede asignar débil de primer orden teorías (por ejemplo, los subsistemas de PA) prueba de la teoría de los números ordinales en función de cuánto inducción que probar, este rápidamente se convierte en un problema.

Por ejemplo, uno puede querer asignar PA $+ \epsilon_0$-inducción de la prueba de la teoría ordinal mayor que $\epsilon_0.$ Pero entonces sería de esperar que el segundo orden de la teoría de ACA$_0$ + aritmética $\epsilon_0$-inducción a tener al menos tan alta en una prueba de la teoría de la ordinal, aunque, si no me equivoco, esta teoría no demostrar el fundamento de $\epsilon_0$ (al menos, es claro ACA$_0$ + aritmética $\alpha$-inducción no demostrar el fundamento de $\alpha$ arbitrarias recursiva ordinales $\alpha$). Tan fuerte teorías de primer orden aritmética probablemente no tiene una clara prueba de la teoría de la ordinal.