Puntos racionales en un círculo con centro $(\pi,e)$

Question

¿Cuál es el número de puntos racionales en un círculo con centro <span class="math-container">$(\pi,e)$</span>?

Answer 1

En la mayoría de las $2$: si hay tres puntos racionales de coordenadas, en el centro se han racional coordenadas, también.

Prueba: supongamos $A$, $B$ e $C$ puntos en un círculo racional de coordenadas. El centro de $M$ del círculo que pasa a través de estos puntos es la intersección de las mediatrices de $AB$ e $AC$. Ahora las ecuaciones de los bisectrices contienen sólo racional de los coeficientes.

Resolver el sistema lineal, la regla de Cramer, por ejemplo, revela que su intersección tiene racional de los coeficientes, también.

Addendum: Hay círculos con irracional coordenadas del centro, que tiene dos puntos racionales. Tome dos puntos con rational coordenadas; la ecuación de su mediatriz ha racional de los coeficientes, por lo tanto no hay duda de que son irracionales puntos en la bisectriz.

Ejemplo: $$(x-1/2-\sqrt2)^2+(y-1/2+\sqrt2)^2=(1/2+\sqrt2)^2 +(1/2-\sqrt2)^2.$$ Obviamente $(0,0)$ e $(1,1)$ pertenecen a ese círculo.

Answer 2

Como comentario implica, es posible tener un punto en el círculo, y la otra respuesta implica que no podemos tener tres. Permítanme complementar esto diciendo que la existencia de un círculo con este centro con dos puntos racionales es un problema abierto.

De hecho, dos puntos de $P,Q$ se encuentra en algún círculo centrado en $(e,\pi)$ fib de este punto se encuentra en la mediatriz del intervalo de $PQ$. Esta línea tiene una ecuación con coeficientes racionales, y por el contrario cada línea con coeficientes racionales es una bisectriz de un segmento con racional de los extremos. Por lo tanto, dos puntos puede mentir en un círculo iff podemos tener una solución racional a la ecuación de $ae+b\pi+c=0$. Esto, como se puede imaginar, se cree que no será posible, pero es todavía abierto - de hecho, ni siquiera sabemos si $e/\pi$ es racional, y si lo fuera, se podría incluso tener una relación anterior con $c=0$.

Answer 3

Hay un punto racional en ese círculo, asumiendo $\pi, e$ e $1$ son linealmente independientes sobre $\Bbb Q$ (lo cual parece ser un problema abierto).

Un punto racional $(p, q)$ sobre el círculo significa que hay un número real $r$ tales que $$ (p-\pi)^2 + (p-e)^2 = r^2 $$ Si hay otro racional punto de $(s, t)$ en el mismo círculo, entonces también tenemos $$ (s-\pi)^2 + (t-e)^2 = r^2 $$ nos da $$ (p-\pi)^2 + (p-e)^2 =(s-\pi)^2 + (t-e)^2\\ \underbrace{(2s-2p)\pi}_{\text{racional múltiples de }\pi} + \underbrace{(2t-2t)e}_{\text{racional múltiples de }e} + \underbrace{p^2 - s^2 + q^2 - c^2}_{\text{racional múltiples de }1} = 0 $$ Que los dos puntos son distintos implica los tres armado términos no son todos cero, lo que significa $\pi, e$ e $1$ son linealmente dependientes sobre $\Bbb Q$.