¿Por qué el vacío tiene permeabilidad y permitividad?

Question

El vacío está vacío, pero parece tener 2 propiedades: su permeabilidad absoluta y su permitividad absoluta, que tienen valores específicos, finitos y distintos de cero. ¿Por qué?

¿Por qué la permeabilidad y la permitividad del vacío son distintas de cero y no son infinitas?

¿Cómo sería un universo en el que la permeabilidad y la permitividad del vacío fueran nulas?

¿Cómo sería un universo en el que la permeabilidad y la permitividad del vacío fueran infinitas?

Answer 1

Las constantes $\epsilon_0$ y $\mu_0$ son lo que los físicos llaman "constantes dimensionales". Esto significa que son constantes cuyos valores contienen unidades. Los valores habituales se dan en unidades del SI, o del sistema métrico, por ejemplo

$$\epsilon_0 \approx 8.854 \times 10^{-12}\ \mathrm{F/m}$$

et

$$\mu_0 \approx 1.256 \times 10^{-7}\ \mathrm{H/m}$$

El truco es que, cuando una constante contiene una unidad, su valor depende, por tanto, de las unidades utilizadas para medirla. En un sistema de unidades diferente, puede tener un valor distinto. En particular, si se observan las unidades anteriores, se ve que implican tres dimensiones físicas de medición diferentes, las cuales, resulta que no están lo suficientemente relacionadas como para que se puedan utilizar unidades distintas para las tres: capacitancia, inductancia y longitud. Es totalmente posible elegir las unidades de la manera que se quiera, y que éstas vengan a ser tout valor que desea. Por ejemplo, puedo elegir que la unidad de longitud no sea el metro, sino el Smoot Una unidad casi humorística que equivale exactamente a 5 pies y 7 pulgadas imperiales, es decir, 1,7018 m. Esta unidad debe su nombre a un profesor, quizá no tan famoso, dependiendo de a quién se conozca, que pasó sus años universitarios estudiando en el MIT, el Instituto Tecnológico de Massachusetts, y que, como parte de una promesa de la fraternidad, le hizo utilizar su propio cuerpo como dispositivo de medición para medir la longitud de un puente fuera del campus, aparentemente volteándolo una y otra vez hasta que todo el puente -medía a "364. 4 Smoots, 'más o menos una oreja'".(*) Si medimos las constantes en Smoots, pero mantenemos las otras unidades (técnicamente produciendo así un sistema de unidades muy bastardo) obtenemos en cambio

$$\epsilon_0 \approx 5.203 \times 10^{-12}\ \mathrm{F/Smoot}$$ $$\mu_0 \approx 7.380 \times 10^{-8}\ \mathrm{H/Smoot}$$

De hecho, con una elección adecuada de las unidades, es totalmente posible hacer que éstas alcancen cualquier valor. Así pues, desde el punto de vista de la teoría física, estos valores no son fundamentales. Incluso podríamos considerarlos como $1$ La capacidad de hacerlo con una elección adecuada de unidades es una de las cosas que resulta muy útil en el trabajo teórico para simplificar las ecuaciones.

Y esto se aplica a tout constante dimensional. Las constantes que no puede se modifican así son las que se forman a partir de tales constantes dimensionales de manera que todas sus unidades se cancelan, dejando un número puro: se llaman constantes adimensionales . Estas constantes adimensionales son las que se suelen considerar con más significado físico por esta razón, por reflejar más esencialmente propiedades de los principios de funcionamiento del Universo, que por reflejar lo que básicamente equivale a la relación entre esos principios y un sistema emergente -los humanos- que resultó de su funcionamiento en una instancia concreta (¿la única? ¿o no?) en un lugar y momento concretos de la misma.

Esto se ilustra tal vez más claramente con una constante que se relaciona más sencillamente con las cosas que los humanos experimentamos en la vida cotidiana, y que no son esas constantes algo más especializadas con las que suelen tropezar los físicos y los ingenieros, sino una que al menos un buen porcentaje de la población general tiene tal vez un indicio, y es la velocidad de la luz, $c$ , típicamente dado como:

$$c = 299\ 792\ 458\ \mathrm{m/s}$$

Evidentemente, puesto que tiene una unidad, es una constante dimensional. Ingenuamente, se podría pensar que esto significa que "la luz va muy, muy rápido". Pero, pensándolo bien, no es así. Como ya sabrás, la luz tarda muchísimo tiempo en viajar por el Universo, por lo que la luz es "realmente" rápido ¿o realmente es muy lento? La velocidad es relativa a us humanos. Y de hecho, podríamos tomar un sistema de unidades que hace que la velocidad sea muy lenta, si quisiéramos:

$$c = 0.000\ 002\ 997\ 924\ 58\ \mathrm{Pm/s}$$

donde ahora hemos utilizado la unidad de distancia como petámetros (Pm), una unidad del sistema métrico que es adecuada para medir escalas astronómicas. Incluso podríamos juguetear con la unidad de tiempo:

$$c = 0.000\ 002\ 997\ 924\ 58\ \mathrm{m/fs}$$

donde ahora lo hemos cambiado por una escala de tiempo adecuada al ámbito atómico. La cuestión aquí es que la velocidad se ve dramáticamente diferente cuando se ve desde escalas diferentes a la humana, y por lo tanto lo que realmente nos está diciendo es no "cómo de rápida es la luz", sino más bien "dónde nosotros están en relación con las escalas propias del Universo". Para profundizar en esto, primero deberíamos observar con más detalle cómo se relacionan con nosotros las unidades que utilizamos -el metro y el segundo-: medimos aproximadamente 1,70 m en una media internacional ponderada demográficamente (es decir no eurocéntrica, centrada en los pueblos de color), al menos según la mejor investigación de este autor (por lo que el Smoot está bastante cerca de un humano totalmente "medio", desde un punto de vista mundial), dado que tal cifra es difícil de obtener directamente, sólo listas de los valores para los distintos países porque hay bastante variabilidad, Además, un segundo es aproximadamente la escala temporal en la que nos movemos: nuestros pensamientos individuales ocupan aproximadamente un segundo y nuestro corazón late a 1 o 2 veces por segundo, dependiendo de si estamos en reposo o activos (al menos para un humano suficientemente sano). Así, vemos que estas unidades encapsulan a grandes rasgos la "escala humana", y ahí, sentada a la derecha en el símbolo de la unidad, está la "escala humana".

Así, desde una interpretación, lo que dice es que la luz está en el orden de magnitud de 300 000 000 de veces más que las velocidades que son importantes en las escalas típicas del movimiento humano. Sin embargo, también hay una interpretación mucho más interesante y que trata de cómo esta constante, a la que llamamos aquí "velocidad de la luz", en realidad no es tal vez la mejor manera de pensar en una velocidad desde un punto de vista físicamente más fundamental. En cambio, lo que "realmente" es la factor que interrelaciona el espacio y el tiempo - el "tipo de cambio" que nos dice cuánto espacio necesitamos intercambiar por una cantidad dada de tiempo, y viceversa, porque como Albert Einstein ayudó al menos a los del mundo occidental a darse cuenta(**) y además sentó las bases para confirmar como una imagen muy precisa, que el espacio y el tiempo son dos partes del mismo continuo. Por lo tanto, podría también también puede interpretarse como que nos dice que el la escala humana se ajusta al continuo espacio-tiempo , es decir, " $c$ " no es sólo una "velocidad" sino más bien nuestras dimensiones (como en nuestras medidas físicas como medir una caja con reglas) en espacio-tiempo están en una proporción del orden de 300 000 000:1 de tiempo a espacio, es decir, que estamos mucho más en el tiempo que en el espacio ¡! De hecho, en términos más exactos, somos mucho, mucho más largos: nuestra vida típica es de unos 2,2 Gs - es decir gigasegundos Para la media internacional (las naciones ricas pueden superar los 2,6 Gs de vida y, lamentablemente, hay muchas naciones cuya población no puede esperar llegar al tercer giga). Utilizando la velocidad de la luz, vemos entonces fácilmente que eso equivale a 660 000 000 Gm, o sea 660 Pm -petros, la unidad que mencionamos antes- de espacio. Eso es como 400 cuatrillones de veces más largo temporalmente que nosotros en nuestra máxima extensión espacial ¡! De hecho, si coges a uno de nosotros y nos colocas a lo largo de nuestro VERDADERAMENTE eje más largo en el espacio, llegaríamos a algunas estrellas de considerable distancia -nótese que la otra estrella más cercana al Sol, Próxima, sin duda conocida por muchos, está a sólo 46 Pm de distancia, y el ficticio mundo natal de Spock, Vulcano, imaginado como en órbita de la estrella Keid, de la que muchos menos habrán oído hablar, ¡sólo estaría a 150 Pm de distancia si fuera real! Piénsalo: en cierto sentido real, ¡tú eres tan largo como el espacio interestelar! Eso es lo que $c$ te está diciendo "realmente".

Asimismo, los valores $\epsilon_0$ y $\mu_0$ nos están diciendo, por tanto, cómo nos relacionamos nosotros, los humanos, electromagnéticamente con el Universo, no una propiedad fundamental del propio Universo. Para ello, deberíamos elegir un sistema de unidades que esté más en consonancia con poner de manifiesto esas propiedades de la mejor manera que las entendemos, y podemos hacerlo eligiendo unidades en las que las constantes dimensionales adecuadas vayan a $1$ y, por lo tanto, se eliminan por completo de nuestras ecuaciones. En particular, si tomamos

$$\hbar = c = G = k_B = e = 1$$

tenemos un buen candidato para "la escala del propio Universo". Todavía hay cierto arbitraje en cuanto a las constantes que fijamos así, pero resulta que esta elección es particularmente esclarecedora para el caso de la teoría electromagnética. Está cerca, pero no del todo, de las "unidades Planck", con la diferencia crucial de que aquí tomamos la unidad natural de carga eléctrica, $e$ para ser nuestra unidad, mientras que las unidades Planck masajean $4\pi \epsilon_0$ para ser $1$ . Podría decirse que esta elección es más agradable e intuitiva, en comparación con el sistema de unidades de Planck, y vamos a ver por qué.

Y así estamos ahora en condiciones de dilucidar los verdaderos contornos del electromagnetismo. La ley de Coulomb pasa a ser la siguiente

$$F_E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2}$$

a la forma más profunda

$$F_E = \alpha \frac{q_1 q_2}{r^2}$$

Aquí, la constante que ha salido al frente es ahora de hecho no dimensional - este $\alpha$ es una constante que no es una simple casualidad de nuestras elecciones de unidades, sino que representa mejor un verdadero parámetro del Universo, o al menos uno que profundiza mucho más en nuestra comprensión del mismo que los otros, es decir, que ahora hemos bajado a la madriguera del conejo y al País de las Maravillas. Se trata de la llamada "constante de estructura fina", a veces conocida como La constante de Sommerfeld para los que tienen una obsesión (en mi opinión malsana) por los epónimos (algo de lo que soy un poco receloso). Tiene el famoso valor $\alpha \approx \frac{1}{137}$ y su importancia radica en que se considera el "dial maestro" que "describe la fuerza electromagnética". Esto se oculta con nuestra anterior elección de unidades, que parecen sugerir que está relacionada con $\epsilon_0$ y $\mu_0$ Pero eso es porque en realidad el origen de la electromagnética es cuántico-mecánico, y al introducir el quantum de carga hemos puesto de manifiesto este nivel más profundo. En este sistema, podemos ver entonces $\alpha$ como literalmente que describe la cantidad exacta en que una carga produce una fuerza: si aumentamos $\alpha$ de alguna manera, entonces $F_E$ se fortalecería en proporción. Desde el punto de vista de nuestros otros sistemas de unidades, interpretaríamos esto como un aumento de la carga del electrón, lo que parece un poco impar dada la forma en que se suele describir la constante, que es como un medidor de fuerza, no como un índice de batería.

Además, yendo más allá, las ecuaciones completas de Maxwell son

$$\nabla \cdot \mathbf{E} = 4 \pi \alpha \rho$$ $$\nabla \cdot \mathbf{B} = \mathbf{0}$$ $$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$$ $$\nabla \times \mathbf{B} = \left(4 \pi \alpha \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\right)$$

Y como puede ver, aquí la constante $\alpha$ está controlando directamente la relación ahora de las cargas eléctricas -las fuentes de las fuerzas electromagnéticas- con los campos electromagnéticos que generan, ya que aparece sólo en los términos relacionados con la carga $\rho$ (densidad de carga) y $\mathbf{J}$ (densidad de corriente).

Así, $\alpha$ es el real "constante mágica" del electromagnetismo, y su interpretación directa aquí es "cuánto campo electromagnético bombea una carga". Cuanto mayor sea $\alpha$ Cuanto más grande sea la carga, más EMF producirá, y cuanto más pequeña, menos. Finalmente, vemos que su pregunta realmente debería ser no "por qué el vacío tiene estos valores $\epsilon_0$ y $\mu_0$ ", pero "¿por qué $\alpha$ tiene el valor que tiene?" Y esto es amigo, un real rompecabezas de la física. Resuélvelo hasta el final, ¡y ganarás un Premio Nobel!

ADD : Me he dado cuenta de que algunos comentaristas de abajo han preguntado qué tiene que ver esto con que las constantes sean cero o no. Y admito que la respuesta anterior se centró principalmente en el aspecto de la pregunta "¿por qué tienen los valores que tienen?", y también no me di cuenta de la pregunta original también se pregunta por qué son distintos de cero. Y de hecho, este es un punto importante y además es distintivo de lo anterior, porque si bien es cierto que el valor específico una constante dimensional es (además de las restricciones que surgen de la necesidad de que las relaciones sin dimensión de las combinaciones de constantes adecuadas sean lo que son en términos de parámetros "verdaderamente" significativos físicamente de nuestro Universo) efectivamente un producto de nuestros artificios de medición, si una constante es cero o distinta de cero es, por otra parte, un asunto diferente y podría argumentarse que es físicamente significativo, ya que es también independientemente del sistema de unidades: cualquier elección matemáticamente sensata de unidades dejará una constante nula o una constante no nula, no se puede encontrar una que resulte en que una constante dimensional no nula se convierta en cero o viceversa.

Por lo tanto, hay varias maneras de ver esto. Una de ellas es desde el punto de vista del sistema de unidades fundamentales que tenemos arriba. Desde este punto de vista, podemos calcular que $\epsilon_0 = \frac{1}{4\pi \alpha}$ y $\mu_0$ es su recíproco (la forma de hacerlo es observar primero que la constante de la fuerza de Coulomb es simplemente $\alpha$ y luego resolver $\alpha = \frac{1}{4\pi \epsilon_0}$ y también hay que tener en cuenta que $1 = c = \frac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}}$ así que $\epsilon_0 \mu_0 = 1$ ). Como recíprocos, entonces, vemos que ambos no puede ser cero simultáneamente, ya que $0 \cdot 0 = 0$ , pero tenemos $\epsilon_0 \mu_0 = 1$ . Además, si sólo uno fuera cero, entonces el producto que da $c$ sería indeterminado, ya que el otro tendría que ser infinito. Las leyes de la física no estarían contentas con eso, y un Universo construido con esas leyes no tendría ningún sentido. Así que tienen que ser algo distinto de cero, dado el corpus de leyes en el que mejor entendemos que se basa.

Sin embargo, el otro punto de vista es utilizar lo que acabamos de decir. Tenga en cuenta que cuando normalizamos las constantes a $1$ , estamos asumiendo implícitamente que todos ellos son distintos de cero. Pero como hemos dicho, si una constante dimensional es cero o no cero es fundamentalmente significativo físicamente a diferencia de su valor específico no nulo, y por lo tanto también debemos considerar todas las formas en que tales constantes podrían ser de tales "tipos" cualitativamente diferentes de valores y lo que podrían significar. A saber, tenemos en arbitrario unidades que

$$\epsilon_0 = \frac{e^2}{2\alpha \hbar c},\ \epsilon_0 \mu_0 = \frac{1}{c^2}$$

Observamos que si de alguna manera $\epsilon_0$ y $\mu_0$ fueran ambos cero, esto último implicaría que $c$ tendría que ser $\infty$ - que también es otro hecho independiente de la unidad. $0$ y $\infty$ son puntos especiales, este último ni siquiera es un número real habitual, y se comporta de alguna manera incluso más "excepcional" que $0$ lo hace. Si $c = \infty$ efectivamente no tenemos relatividad especial. Sin embargo, si no hay relatividad especial, entonces no hay ondas electromagnéticas, e incluso puede ser (aunque mis conocimientos no son suficientes para saberlo) que toda la estructura habitual de las teorías cuánticas de campo no funcione o se vuelva muy degenerada. El Universo se vuelve más bien estéril y sin vida, pensaría yo, si las leyes siguen teniendo sentido.

En general, si una de las constantes dimensionales $\hbar$ , $c$ o $G$ es o no es cero corresponde básicamente a si tenemos un universo que es o no es (una elección binaria) que involucra la mecánica cuántica, la relatividad especial o la relatividad general (gravitación), respectivamente.

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(*) De hecho, la longitud real es de 387,72 Smoots, ¡así que en realidad no hicieron una buena estimación de su incertidumbre! No obstante, la incertidumbre real -por debajo del 10%- es bastante impresionante, y no puedo imaginarme lo que se debió sentir al rodar con la cabeza sobre los talones algo más de 364 veces. Sin embargo, puedo imaginar que el vómito es una visión plausible al menos en alguna parte del proceso, y que el estómago de uno, después, probablemente dolería como la muerte - la forma china de decir "duele muy jodidamente mal". (Además, el autor de este post mide, curiosamente, casi exactamente un metro de altura, ¡con una diferencia de un centímetro!)

(**) Conceptos similares a nuestro espacio-tiempo moderno, aunque sólo se han podido comprobar observacionalmente hace poco, fueron pensados antes por al menos algunos pueblos indígenas de la región de los Andes (que todavía existen, por cierto), en particular, en Perú y Bolivia. Estos pueblos también tienen otras formas interesantes de relacionarse con el tiempo, al menos en su concepción tradicional del lenguaje.

Answer 2

Asumiré a lo largo de esta respuesta que fijamos el valor de $c$ independientemente de $\varepsilon_0$ o $\mu_0$ . La permitividad y la permeabilidad del vacío están relacionadas entre sí por $\varepsilon_0\mu_0 = 1/c^2$ Por tanto, no son constantes independientes, como cabría esperar si la electricidad y el magnetismo son manifestaciones de la misma fuerza fundamental.

La permitividad está relacionada con el valor adimensional constante de estructura fina $\alpha$ por $\alpha = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{e^2}{\hbar c}$ . La constante de estructura fina determina la fuerza del acoplamiento de las cargas al campo electromagnético. Al ser adimensional, no depende de la elección de unidades y, en este sentido, es más fundamental que $\varepsilon_0$ .

Si tomamos $\alpha \rightarrow 0$ ( $\varepsilon_0 \rightarrow \infty$ ), las cargas no se ven afectadas por los campos EM en absoluto, y no hay interacción electromagnética entre las cargas. No habría átomos, por lo que no habría materia macroscópica tal y como la conocemos. Si tomamos $\alpha \rightarrow \infty$ ( $\varepsilon_0 \rightarrow 0$ ), entonces el acoplamiento EM entre cargas es infinitamente fuerte. No tengo una buena intuición de lo que ocurre en este caso.

Podemos ver un poco de física de estos dos límites a partir de la ley de Coulomb, \begin{equation} F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q q'}{r^2}, \end{equation} donde el primer límite da $F\rightarrow 0$ y este último $F \rightarrow \infty$ para cargas y distancias finitas.

Answer 3

Si fueran cero, se recupera la mecánica newtoniana (la velocidad de la luz sería infinita). Si fueran infinitos, no hay universo reconocible, y tendrías la luz congelada (velocidad cero) y por tanto no podrían existir ni la masa ni los marcos de referencia.

Answer 4

Ambos son valores sin sentido que desaparecen cuando se utiliza Unidades gaussianas . Es significativo que ninguno de los dos sea cero y ninguno sea infinito, pero sus valores finitos particulares no tienen significado físico, al igual que los valores de otras constantes dimensionales no tienen significado.

Answer 5

¿Por qué la permeabilidad y la permitividad del vacío son distintas de cero y no son infinitas?

¿Por qué no?

¿Cómo sería un universo en el que la permeabilidad y la permitividad del vacío fueran nulas?

Porque $$c = \frac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}},$$

tendrías una velocidad de la luz infinita como señaló Wolphram jonny.

¿Cómo sería un universo en el que la permeabilidad y la permitividad del vacío fueran infinitas?

Wolphram jonny respondió a esto y se deduce de la ecuación que di.