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Question

Alguien visita un mercado donde un centenar de diferentes tipos de la fruta se vende. Todos los tipos de costo $1$ euro por libra. La utilidad que el comprador recibe a partir de la compra de $m_1$ libras del primer tipo de fruta que compra, $m_2$ libras de la el segundo tipo, etc. (todos los números enteros) es $\prod\limits_{i=1}^n m_i$. Aquí $n$ es el número de diferentes tipos de fruta que compra. El comprador ha $100$ de euros. Que frutas shouldhe compra con las cantidades para maximizar su utilidad?

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Pensé acerca de la maximización de la $\sum\limits_{i=1}^n \ln m_i$ en lugar de eso, pero yo realmente no sé cómo incluir el orden de las utilidades que el $m_i$'s resultado. Podría alguien por favor ayuda?

Answer 1

Nota: Esta respuesta se olvidó de tomar en cuenta que el $m_i$ todos tienen que ser números enteros, por lo que no es correcto...

Los frutos que todos tienen la misma utilidad, así que no hay necesidad de considerar el orden en que están comprados.

Es un ejercicio fácil de demostrar que el máximo de producto de $n$ números positivos con una determinada suma se obtiene cuando los números son todos iguales. El uso que el comprador puede obtener utilidad de 100 si él o ella compra sólo 1 tipo de fruta, $50\cdot50$ si él o ella las compras de 2 clases, y así sucesivamente. Sólo hay 100 posibilidades, y usted podría encontrar la más grande mediante el cálculo de todos ellos. O usted podría maximizar el producto $\left(\frac{100}{k}\right)^k$ utilizando el cálculo y comparar el resultado de la utilización de los valores enteros de a $k$ más cercana a la máxima.

Answer 2

Te gustaría estar en el camino correcto (a excepción de un error tipográfico: $\sum \ln$ en lugar de $\ln \sum$) si estábamos buscando soluciones en los números reales. Por el entero de restricción, un acercamiento elemental parece fuitful (juego de palabras no es la intención).

Primero de todo, si $n>100$ al menos una $m_i$ es cero, por lo tanto la utilidad es cero, no importa lo que el comprador hace. Así que vamos a suponer que de ahora en adelante $n\le 100$ y considerar sólo las soluciones con $m_i\ge 1$ todos los $i$. Ya que hay sólo un número finito de compra posible, las estrategias, la existencia de un máximo es claro y podemos simplemente buscar una solución para los que no podemos encontrar una mejora.

Supongamos que tenemos una solución donde la $\sum m_i<100$ (es decir, no podemos gastar todo el dinero que - en teoría sí, como este hecho podría ser la óptima). A continuación, selecciona cualquier $i$ y la sustitución de $m_i$ $m_i+1$ todavía obedece a la suma de restricción, sino que aumenta la (positivo!) utilidad por un factor de $\frac{m_i+1}{m_i}>1$. Por lo tanto, como se podría haber adivinado - todas las soluciones óptimas de gastar todo el dinero, $\sum m_i=100$.

Supongamos que tenemos la solución, donde $m_i>m_j+1$ algunos $i,j$. A continuación, mediante la sustitución de $m_i$ $m_i-1$ $m_j$ $m_j+1$ obtenemos otra solución válida (el total de la fruta conteo no cambia) y la positiva (!) la utilidad se multiplica con $$\frac{m_i-1}{m_i}\cdot \frac{m_j+1}{m_j}=\frac{1-\frac1{m_i}}{1-\frac1{m_j+1}}>\frac{1-\frac1{m_i}}{1-\frac1{m_i}}=1.$$ Por lo tanto, esta situación no se produce por la solución óptima(s). Llegamos a la conclusión de que hay un $m$ tal que $m_i\in\{m,m+1\}$ todos los $i$. Más precisamente, si hay exactamente $k$ índices de $i$ donde$m_i=m+1$, la utilidad es $$ (m+1)^km^{n-k}=m^n\cdot\left(1+\frac{1}{m}\right)^k$$ que es (solucionado $m$) estrictamente creciente con $k$, es decir, lo que queremos es maximizar $k$. A continuación, de nuevo, tenemos la restricción de que $$100=(n-k)m+k(m+1) = nm+k $$ y, por supuesto,$0\le k\le n$. Una solución con $k=n$ es equivalente a la solución de con $k=0$ $m$ reemplazados con $m+1$, por lo tanto podemos suponer $0\le k<n$. Bu que nos lleva a la división con resto, que es único: Se debe establecer$m=\lfloor \frac {100}n\rfloor$$k=100\mod n$.